Superficies









Una superficie está representada por una ecuación en tres variables si las coordenadas de cada punto de la superficie satisfacen la ecuación, y si cada punto cuyas coordenadas verifican la ecuación pertenece a la superficie.

Tipos:
Cilíndrica
¿Qué es un cilindro?
Es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana de tal manera que siemprepertenecemos paralela a una recta fija que no está contenida en el plano de la curva dada.
La recta que se mueve se denomina generatriz del cilindro, y la curva plana dada se llama directriz del cilindro. Cualquier posición de una generatriz recibe el nombre de regladura del cilindro.
La forma cilíndrica se limitara a aquellos que tengan una directriz en uno de los planos coordenadas yregladuras perpendiculares a ese plano. Si las regladuras de un cilindro son perpendiculares al plano de la directriz, se dice que el cilindro es perpendicular al plano. “cilindro circular recto es aquel cuya directriz es una circunferencia y cuyas regladuras son paralelas al eje del cilindro.








La figura 1, muestra un cilindro circular recto cuya directriz es: x2 +y2 =4, la cual está en elplano xy, y cuyas regladuras son paralelas al eje z.



En la figura 2 se tiene un cilindro cuya directriz es una parábola y2 =8x, contenida en el plano xy, y cuyas regladuras son paralelas al eje z. este cilindro se denomina cilindro parabólico.


Un cilindro elíptico se muestra en la figura 3; su directriz es una elipse 9x2 +162 =144, la cual está en el plano xy, y sus regladuras sonparalelas al eje z.




La figura 4 muestra un cilindro hiperbólico que tiene como directriz a la hipérbola 25x2-4y2 =100, contenida en el plano xy, y sus regladuras son paralelas al eje z.





Para obtener una ecuación de un cilindro que la directriz se encuentra en el plano xy y las regladuras paralelas al eje z (figura 5), si xy es y= f(x); el punto (X0, Y0, 0) del plano xy satisface esta ecuación,entonces cualquier punto de la forma (X0, Y0, Z) del espacio tridimensional, donde z es cualquier número real, satisfaga la misma ecuación debido a que z no aparece en la ecuación. Los puntos que tienen representaciones (X0, Y0, Z) están ubicados un una recta paralela al eje z que pasa por el punto (X0, Y0, 0). Esta recta es una regladura del cilindro. En consecuencia cualquier punto cuyascoordenadas “x y y” satisfagan la ecuación y=f(x), estará en el cilindro.







Si el punto P(x, y, z) pertenece al cilindro (figura 6), entonces el punto (x, y, 0) está en la directriz del cilindro la cual yace en el plano xy, y en consecuencia las coordenadas “x y y” de P satisfacen la ecuación y= f(x). Por lo tanto, si y= f(x). Se considera como una ecuación de la gráfica en el planotridimensional, entonces la gráfica es un cilindro cuyas regladuras son paralelas al eje z, y el cual tiene como directriz a la curva y= f(x) contenida en el plano z=0.









Superficie Cuadrática:
Se denomina superficie cuadrática a la gráfica de una ecuación de segundo grado en las tres variables X, Y, Z. Los tipos más simples de superficies cuadráticas son los cilindros parabólicos,elípticos e hiperbólicos. Se consideraran otros seis tipos de superficies cuadráticas. En el estudio de cada una de estas superficies, se elegirán los ejes coordenados de modo que las ecuaciones resulten en su forma más simple, y se hará referencia a las secciones transversales de las superficies en planos paralelos a los planos coordenados. Estas secciones transversales ayudan a visualizar lasuperficie.

Tipos de Superficie Cuadrática:

Elipsoide
= 1
Donde a, b, c son positivos. Si en la ecuación se Z se sustituye por 0, se obtiene la sección transversal del elipsoide en el plano XY, la cual es la elipse:

+ = 1

A fin de obtener las secciones transversales de la superficie de la superficie en los...