TAA resueltos

Un avión supersónico realiza su vuelo en un plano, tal que el ruido que produce en cualquier punto de su trayectoria llega al mismo instante en un punto O de dicho plano. Hallar la ecuación de la trayectoria del avión, sabiendo que la velocidad del avión es Mc (c: velocidad del sonido; M > 1), tomando O como el origen del sistema de coordenadas polares del plano de vuelo y que elpiloto pasa en el instante t = 0, por el punto donde  = 0, r = a.


Solución:
En t = 0 ( posición (1) ):  = 0 y r = a, el tiempo que
tarda la señal en llegar a O está dado por:


En posición (2) ) el tiempo que tarda la señal en llegar(2) a O está dado por:
r


O (1) como t1 = t 2, tenemos:

con lo que: ct1 + r = a
tomando diferenciales: c dt + dr = 0 ; (a) (1)

Con coordenadas polares tenemos: x = r cos  ;y = r sen  y sabiendo que v2 = tenemos que: M2c2 = (2)
(1) en (2): M2c2 = ; M2c2 – c2 =

c2 (M2 – 1) = ; (M2 – 1) = ;
integrando:
que es la ecuación de una espiral










Hallar la ecuación de una familia de curvas, con la propiedad que para todo punto de uno cualquiera de sus miembros, la longitud de la proyección de su ordenada sobre la recta normalen dicho punto, es igual a un segmento de longitud constante igual a a.









ycos(-) = a
- ycos = a

Una partícula que se desplaza en línea recta, es atraída por una fuerza inversamente proporcional al cubo de la distancia entre su posición y el origen de atracción. Si partió del reposo, a una distancia a del centro de atracción,¿cuánto tardará la partícula en situarse en el centro de atracción?
Solución:







1. Un objeto a 76 m del suelo tiene una velocidad de 25 m/s, si el medio le ofrece una resistencia al movimiento proporcional a su velocidad y el límite de ésta es 20 m/s, determinar a que altura se encontraba cuando se desplazaba a 50 m/s.(Considerar g = 9,8 m/s2)



















2. Efectuando el cambio de variable dependiente y2 = v, resolver la ecuación diferencial ordinaria: yy”’ + 3y’y” – 2yy” – 2y’2 + yy’ = e2x. FAp132e35

Alternativa:

3. Resolver: FAp270e10
Sean: x = eu, y = evEntonces: xD1z = D 1z
yD2z = D 2z
x2D12 z = D 1(D 1–1)z
xyD1D2 z = D 1D 2z
y2D22 z = D 2(D 2–1)z
(D 1(D 1–1) + 2D 1D 2 – D 1)z = e3u – 2v
 (D 12 + 2D 1D 2 – 2D 1) z = e3u – 2v
D 1(D 1 + 2D 2 – 2) z = e3u – 2v
z0 = F1(y) + e2uF2(v – 2u)
zp = e3u – 2v/(3(3 – 2*(2) – 2)) = –1/9 e3u – 2v
Así: z = F1(v) + e2uF2(v – 2u) – 1/9 e3u – 2vEntonces:
z = f1(lny) + x2f2(lny – 2lnx) – 1/9 x3y-2
z = g1(y) + x2g2(y/x2) – 1/9 x3y-2

4. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y2 + 2Cx = C2 (C > 0). AK-MK-GMp65e292
y2 + 2Cx = C2 (*) (C > 0)
Derivando respecto a x: 2yy’ + 2C = 0  C = –yy’
Sustituyendo en (*) y2 – 2xyy’ = y2y’2
Cambiando y’por – 1/y’ y2 + 2xy/y’ = y2/y’2
Multiplicando por (y’/y)2  0 y’2 + 2(x/y)y’ = 1
Transponiendo términos y’2 + 2(x/y)y’ – 1 = 0
y’ = –x/y  (x2/y2 + 1)1/2
Sea y = xv  y’ = v + xv’ v + xv’ = –v–1  (v–2 + 1)1/2
Transponiendo términos xv’ = – (v + v–1)  (1 + v2)1/2/v
xv’ = –(v2 + 1)/v  (1 + v2)1/2/v
dx/x + vdv/[(v2 + 1) (1 + v2)1/2] = 0
v2 + 1...