Tablas De 0 Y 1

¿Existen diferentes clases de infinito?

Trabajaremos con los conjuntos numéricos de toda la vida...
 
Los números naturales: N = 1, 2, 3, 4,…
Los múltiplos (positivos) de 2:   2N = 2, 4, 6, 8,….
Los números enteros:   Z = 0, 1, -1, 2. -2, 3, -3,….
Los números racionales (o fraccionarios):   Q =  0, 1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4,….., 2/1, -2/1, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3, 2/4,-2/4,…….   (Observa que en esta lista aparecen números repetidos que en buena lógica deberíamos quitar: 1/1  es lo mismo que 2/2,…  1/2 es lo mismo que 2/4,…)
Los números irracionales: I (que no se pueden expresar en forma de fracción como, π, etc.).
Los números reales: R = La reunión en un solo conjunto de racionales e irracionales.
 
¿En qué conjunto hay más números, en N o en 2N?  ¿En N o en Z? ¿En N o en Q? 
Sí, ya sabemos que en todos hay infinitos números, pero… ¿son iguales o un infinito es mayor que otro?
 
Necesitamos ponernos de acuerdo en lo que significa la pregunta. Para ello…
Nos vamos a una fiesta imaginaria con ambiente de los años 50 y queremos saber si hay más chicos que chicas. Lo averiguaremos haciendo que suene un rock and roll  y pidiendo que se formen todas las parejas debaile posibles. Al final nos bastará con observar a los que no han podido encontrar pareja para saber si hay más chicas que chicos o al revés.
 
Dos conjuntos (infinitos o no) tienen el mismo número de elementos si se puede establecer una relación uno-uno (vamos, que se pueden formar parejas mixtas sin que sobre nadie).
 
Y dicho esto, basta echar una ojeada a la siguiente tabla para ver queen N y 2N hay el mismo número de elementos:
 
N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | …. |
2N | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | …. |
 
Y lo mismo con N y Z:
 
N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
Z | 0 | 1 | -1 | 2 | -2 | 3 | -3 | 4 | … |
 
Y esto no es nada, el gran maestro en estos asuntos, George CANTOR, de un modo sencillo consiguió emparejar uno-uno a los naturales N con los racionales Q. Utilizó una tablacomo la siguiente donde fue escribiendo ordenadamente todos los números racionales… (Observa que, por ejemplo, el número 47/123 está en la columna 47 y en la fila 123)
 
1/1 | 2/1 | 3/1 | 4/1 | 5/1 | .. |
1/2 | 2/2 | 3/2 | 4/2 | .. | .. |
1/3 | 2/3 | 3/3 | .. | .. | .. |
1/4 | 2/4 | .. | .. | .. | .. |
1/5 | .. | .. | .. | .. | .. |
.. | .. | .. | .. | .. | .. |
 
Pues bien CANTORlos ordenó por un camino con diagonales en zigzag así:   1/1  ,  2/1  ,  1/2  ,  1/3  , 2/2  ,  3/1  ,  4/1  ,  3/2  ,  2/3  ,  1/4  ,  1/5  ,  2/4  ,  ….   Lo verás mejor si dibujas una línea en la tabla que siga la lista anterior. Si de esta lista quitamos las fracciones repetidas, podemos proceder al emparejamiento de N con los racionales positivos:
 
N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |Q+ | 0 | 1/1 | 2/1 | 1/2 | 1/3 | 3/1 | 4/1 | 3/2 | … |
 
Para emparejar N con todo Q basta mantener la tabla anterior cambiando la fila superior por los números pares y añadir los naturales impares emparejados a los racionales negativos.
 
N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … |
Q | 0 | 1/1 | -1/1 | 2/1 | -2/1 | 1/3 | -1/3 | 3/1 | -3/1 | 4/1 | -4/1 | … |
 
Parecereforzarse una conjetura: todos los infinitos son iguales. Y todos son de la misma magnitud que los números naturales N.
 
Al infinito referido a los números naturales se le llama אּ0  (Aleph sub cero). Los conjuntos que se pueden emparejar con los naturales decimos que son numerables.
 
Pero CANTOR nos demostró que estamos equivocados probando que
 
En cualquier intervalo de números reales existeuna cantidad infinita de números que no se puede poner en relación uno-uno con los naturales. Es decir, los números reales no son un conjunto numerable.
 
Veamos su demostración que haremos con el intervalo (0,1)  es decir, el conjunto de números comprendidos entre 0 y 1 sin incluirlos. Todos sus números de ese intervalo tienen la forma0’abcde…., por ejemplo 0’3200…  0’125… 0’2323…   Por...