Tarea estadistica: emv y sesgo

Problema 1
Parte i. Sea f ( x) 
x

2

exp   x  

x  0

(1.1)

Puesto que las observaciones son independientes, la densidad conjunta de toda la muestra, que hemos identificado como función de distribución conjunta f ( x ) , se obtendrá de la siguiente manera:
f ( x )   f ( xi )
i 1 n

(1.2)

Al reemplazar f ( xi ) en (1.2) por la función (1.1), y al aplicar laspropiedades de las pitatorias 1se obtiene la función de distribución conjunta:
n

f ( x)  
i 1

xi exp( xi /  )

2



 x exp( x /  )
i 1 i i

n

 2n

(1.3)

Al aplicar logaritmo natural a (1.3)2:

 n    xi exp( xi  )  n n    ln xi   ln exp( xi  )  2n ln  l ( )  ln( f ( x ))  ln  i 1  2n   i 1 i 1    
l ( )   ln xi   ( xi  ) ln e 2n ln 
i 1 n i 1 n n n

l ( )   ln xi   ( xi  )  2n ln 
i 1 i 1

(1.4)

Se realiza la condición de primero orden (C.P.O.), derivando la ecuación (1.4) con respecto a θ:
n l   2  xi  (2n  )  0  i 1

(1.5)

1 2

Ver apéndice 1: Propiedades de las pitatorias Ver apéndice 2: Propiedades de logaritmo

ˆ En (1.5) se despeja  , para obtener el estimador demáxima verosimilitud (  )3:

 1  2n  ˆ 

x
i 1

n

i

2n

Parte ii. Para demostrar que la expresión hallada del estimador de máxima verosimilitud de  corresponde efectivamente a un máximo se realiza la condición de segundo orden:

 2l  2

0
ˆ  

n  2l  2 3  xi   2n  2   0  2 i 1

 n x n l  l  i 3 2  i 1  2  xi    2n    2   2  n i 1  
2 2

      

 n   xi n  2l 2 3   2n    2  xi     i 1 2   n i 1  

     

ˆ Como se debe evaluar en    , se obtiene la siguiente desigualdad:
 n   xi ˆ    i 1  n     n    xi    i 1   2n       n     xi  1    i 1    1 2   n       

Como la ultima desigualdad sí se cumple, se comprueba que elE.M.V. encontrado es un máximo.

3

Ver Anexo 1: Máxima Verosimilitud

Problema 2
Parte i. Sea f ( x |  )  (  1) x si 0  x  1 (2.1)

Puesto que las observaciones son independientes, se obtendrá la función de distribución conjunta f ( x |  ) :
f ( x |  )   f ( xi |  )
i 1 n

Al reemplazar f ( xi |  ) por la función (2.1), y al aplicar las propiedades de las pitatorias4se obtiene:
f ( x |  )   (  1) xi  (  1)

i 1 n n

 x
i 1 i
n n

n

(2.2)

Al aplicar logaritmo natural a (2.2)5:
l ( )  ln( f ( x |  ))  n ln(  1)   ln xi  n ln(  1)   ln xi
i 1 i 1

l ( )  n ln(  1)    ln xi
i 1

n

(2.3)

Se realiza la condición de primero orden (C.P.O.):
n l n    ln xi  0  (  1) i 1

(2.4)

ˆ En (2.4)se despeja  , para obtener el estimador de máxima verosimilitud (  ):
n n   ln xi (  1) i 1

ˆ 

n

 ln x
i 1

n

1

(2.5)

i

4 5

Ver apéndice 1: Propiedades de las pitatorias Ver apéndice 2: Propiedades de logaritmo

ˆ El sesgo del estimador de máxima verosimilitud de θ, B( ) , se obtiene de la 6 siguiente forma:
ˆ ˆ B( )  E ( )  

Entonces:
ˆ ˆ ˆ( )    f ( x |  ) dx    (  1) x dx    
0 0 1 1

 x  1 ˆ ˆ ( )  (  1)     dx  (  1)  0 0
ˆ ˆ ( )    dx
0 1

1

nota7

(2.6)

Al reemplazar en (2.6) el estimador obtenido en (2.5), se obtiene:

    1  1  n  1  ˆ)   dx   1dx (  n  1dx  n   n  0 0 0 ln x ln x   i   i  i 1 i 1    
1

   1  ˆ dx  1( )  n   n 0  ln xi     i 1 
1

(2.7)

ˆ A partir de lo obtenido en (2.7) se puede observar que el sesgo B( ) , se hace cada vez más positivo a medida que el tamaño de la muestra es mayor (aumenta n). Debido a que el valor de x está entre 0 y 1, el logaritmo natural estará siempre en valores negativos. Esto implica que la esperanza del error muestral en el que se incurre al...