tecnica

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptosprincipales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Algunas funciones continuas importantes


Funciones seno y coseno.
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo defunción continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

[editar]Funciones definidas por intervalos

Artículo principal: Función definida atrozos.
Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límitesa la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario
Función signo


[editar]Función racional

Artículo principal: Función racional.
Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Estafunción es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio  porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

[editar]Teoremas sobre funciones continuas
Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.
1.Teorema de Weierstrass: Si f es continua en  entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en  y  y , entonces  tal que 
3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en  y  entonces  tal que 
[editar]Derivada y continuidad
Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidades una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.

Funciones continuas en espacios topológicos
Sean  e  dos espacios topológicos. Una aplicación  se dice que es continua si:
 es un abierto de , cualquiera que sea el abierto  de . Esta es la continuidad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un puntodel dominio.
Con la misma notación, si , diremos que  es continua en  cuando se obtiene que  es un entorno de , cualquiera que sea el entorno  de .
Es "inmediato" entonces comprobar que  es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.
[editar]Funciones continuas sobre los números ordinales
El términofunción continua en la parte de la teoría de conjuntos que se refiere a los números ordinales tiene un sentido diferente al referido a las funciones sobre espacios topológicos. Concretamente una función F definida sobre la clase de los números ordinales  es continua si para cada ordinal límite γ se cumple la siguiente propiedad:

Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo-...