Telatividad

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2013

MATEMÁTICAS II
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
• Junio, Ejercicio 3, Opción A
• Junio, Ejercicio 3, Opción B
• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A
• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B
• Reserva 2, Ejercicio 3, Opción B
• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B
• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B
• Septiembre, Ejercicio 3, Opción Ahttp://emestrada.wordpress.com

0
−1 ⎞
⎛1
⎜
⎟
Sea M = ⎜ 0 m + 1
0 ⎟
⎜
⎟
1
m − 1⎠
⎝1
a) Determina los valores de m para que los vectores fila de M son linealmente independientes.
b) Estudia el rango de M según los valores de m.
c) Para m = 1 , calcula la inversa de M.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos el determinante de la matriz M:
10

−1

M = 0 m +1
0 = m 2 + m = 0 ⇒ m = 0 ; m = −1
1
1
m −1

Para todos los valores de m ≠ 0 y − 1 , el determinante es distinto de cero y los vectores son
linealmente independientes.
b) Calculamos el rango de M según los valores de m.

m=0
m = −1
m ≠ 0 y −1

Rango(M)
2
2
3

c) Calculamos la inversa de M para m = 1 :
⎛ 0 0 − 2⎞
⎛ 0 −1 2 ⎞ ⎛
1
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
−1 1 −1 ⎟
01 0⎟ ⎜ 0 − 2 1⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ 2 0
⎜
⎟ ⎜
d t
2⎟
(M ) ⎝
1
−1
⎠ = ⎝ − 2 −1 2 ⎠ = ⎜ 0
=
0⎟
(M ) =
⎜
⎟
2
2
2
M
⎜
⎟
⎜ −1 − 1 1 ⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
t

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1⎞
⎛1
Sea A = ⎜
⎟
⎝1 − 1⎠
a) Comprueba que A 2 = 2 I y calcula A − 1 .
b) Calcula A 2013 y su inversa.
MATEMÁTICAS II. 2013. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N
a) Comprobamos queA 2 = 2 I

⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 2 0 ⎞
⎛1 0⎞
A2 = ⎜
⎟⋅⎜
⎟=⎜
⎟ = 2⎜
⎟ = 2I
⎝1 −1 ⎠ ⎝1 −1 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠
⎝0 1⎠
Calculamos la inversa:
⎛ − 1 − 1⎞
⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 1
⎜
⎟
⎜
⎟
d t
−1 1 ⎠ ⎜ 2
( A ) ⎝ −1 1 ⎠
−1
=
=⎝
=⎜
( A) =
A
−2
−2
⎜1
⎜
⎝2
También la podemos calcular de la siguiente forma:
t

1⎞
2⎟
⎟
1⎟
− ⎟
2⎠

⎛1
⎜
1
⎛1 ⎞
A 2 = 2 I ⇒ A ⋅ A = 2 I ⇒ A ⋅ ⎜ A ⎟ = I ⇒ A −1 = A= ⎜ 2
2
⎝2 ⎠
⎜1
⎜
⎝2

1⎞
2⎟
⎟
1⎟
− ⎟
2⎠

b)
⎛ 2 1006
A 2013 = A 2012 ⋅ A = ( A 2 )1006 ⋅ A = (2 I )1006 ⋅ A = 2 1006 ⋅ ( I )1006 ⋅ A = 2 1006 ⋅ A = ⎜ 1006
⎝2

2 1006 ⎞
⎟
− 2 1006 ⎠

( A 2013 ) −1 = A −1 ⋅ A −1 ⋅⋅⋅⋅ (2013 veces) ⋅⋅⋅⋅ A −1 ⋅ A −1 =
1 1
1 1
= A ⋅ A ⋅⋅⋅⋅ (2013 veces) ⋅⋅⋅⋅ A ⋅ A =
2 2
2 2

=

1
2

2013

A 2013 =

1
2

2013

⋅ 2 1006 ⋅ A =1
2 1007

⎛ 1
⎜ 1007
⋅A=⎜2
⎜ 1
⎜ 1007
⎝2

1 ⎞
⎟
2
⎟
1 ⎟
− 1007 ⎟
⎠
2
1007

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⎛ −1 1 0⎞
⎛ 0 2 1⎞
⎛ 1 2⎞
⎜
⎟
Considera las matrices: A = ⎜ 2 0 0 ⎟ , B = ⎜
⎟ y C =⎜
⎟
⎝ 1 2 0⎠
⎝ −1 6⎠
⎜ 1 0 1⎟
⎝
⎠
−1
a) Halla A .
b) Calcula la matriz X que satisface A ⋅ X = B t ⋅ C ( B t es la traspuesta de B).
c) Halla el determinante de A 2013 ⋅ Bt ⋅ B ⋅ ( A − 1 ) 2013 .
MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos la inversa:
0⎞
0⎞ ⎛
⎛ 0 −2
⎛ 0 −1
1
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜0
0⎟
1⎟
0⎟
−1 −1
− 2 −1
2
⎜
⎜
⎜
⎟
⎜ 0
⎜ 0
d t
0 −2⎟
1 −2⎟ ⎜
(A ) ⎝
1
−1
⎠ =⎝
⎠= 1
0⎟
=
( A) =
⎜
⎟
2
A
−2
−2
⎜
⎟
⎜0 − 1 1⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
t
−1
−1
t
−1
t
b) A ⋅ X = B ⋅ C ⇒ A ⋅ A ⋅ X =A ⋅ B ⋅ C ⇒ X = A ⋅ B ⋅ C
t

Calculamos la matriz X
1
⎛
⎞
0⎟
⎜0
2
⎛1
⎜
⎟ ⎛0 1⎞
1
−1
t
⎜1
⎟⋅⎜ 2 2⎟⋅⎛ 1 2⎞ = ⎜1
0 ⎜
X = A ⋅ B ⋅C =
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟
2
⎜ 1 0 ⎟ ⎝ −1 6 ⎠ ⎜ 0
⎜
⎟ ⎝
⎠
⎝
⎜0 − 1 1⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠

1⎞
⎛ 0
⎟ ⎛ 1 2⎞ ⎜
2⎟⋅⎜
⎟ = ⎜ −1
⎝ −1 6 ⎠ ⎜
−1 ⎟
⎠
⎝ 1

8⎞
⎟
14 ⎟
−6 ⎟
⎠

Calculamos

⎛0 1⎞
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟ ⎛0 2 1⎞ ⎜
⎟
B ⋅ B = ⎜ 2 2⎟⋅⎜
⎟ = ⎜ 2 82⎟ = 8 − 4 − 4 = 0
⎜1 0⎟ ⎝1 2 0⎠ ⎜ 0 2 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
t

Luego:
A 2013 ⋅ B t ⋅ B ⋅ ( A −1 ) 2013 = A

2013

⋅ Bt ⋅B ⋅

1
A

2013

= Bt ⋅B = 0

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⎛a b c ⎞
⎜
⎟
Sabiendo que el determinante de una matriz A = ⎜ d e f ⎟ es 4, calcula los siguientes
⎜p q r⎟
⎝
⎠
determinantes, indicando en cada caso, las propiedades que utilizas:
a) det( − 2 A)...