TEMA 1

II. ALGEBRA VECTORIAL
El Desarrollo histórico del Análisis Matemático estuvo siempre ligado al de Geometría Analítica. Cada nuevo descubrimiento es uno de los campos condujo a u progreso en el otro. El problema de trazar tangentes a las curvas condujo al descubrimiento de la derivada; el problema del área debajo de una curva condujo al concepto de la integral; las derivadas parciales seintroducen para estudiar superficies en el espacio. Junto a estos resultados se tuvieron desarrollos paralelos en la mecánica y en la física matemática.
De la fusión de las principales ideas del Análisis y de la geometría analítica nació en seguida un nuevo capítulo de las matemáticas: el Algebra Vectorial.
Inmediatamente surgió la certeza de que eran los vectores los instrumentos ideales para exponery simplificar muchos de los conceptos importantes de la geometría y de la física.
II.1 Definición de un vector
Un vector es un ente que además de su valor escalar (módulo) posee dirección y sentido. Ej.: Fuerza
Un vector puede expresarse indicando:
a) Módulo y dos ángulos con los ejes (un ángulo en 2D)
b) Componentes respecto a una base (siempre hay que indicar la base)
F = 3i + 2j –k (N)II. 1.1 Clasificación de vectores
Se dice que dos vectores son equipolentes cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.
Los vectores en general pueden ser:
Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección. Ejemplo: el momento de un par,la velocidad, la resultante de un sistema de fuerzas, la velocidad de un objeto, etc.

Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ejemplo: la fuerza aplicada a un sólido, el vector fuerza en la dirección de una cuerda.

Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo y no puedesustituirse por otro. Ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado, o la intensidad del campo eléctrico de una carga puntual.



II. 2 Componentes cartesianos de un vector
En ocasiones es conveniente descomponer un vector en suma de otros situados sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianos. Por ejemplo cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que solo se puede mover enla horizontal, es conveniente descomponer esa fuerza en una componente horizontal que actúa en la dirección del movimiento y tiene un efecto directo sobre éste y otra vertical que no interviene directamente sobre el movimiento sino de forma indirecta al “aligerar “ el roce con el suelo. De ahí la conveniencia de la descomposición.
Dado un sistema de ejes cartesianos XYZ, podemos descomponerun vector a en la suma de tres vectores perpendiculares entre sí, cada uno sobre uno de estos ejes.
a = ax + ay + az
Para cada una de estas tres direcciones podemos definir un vector unitario (de modulo igual a la unidad), i según el eje X, j según el eje Y, k según el eje Z. Entonces:
ax = ax i
ay = ay j
az = az k
Según lo cual, la expresión general del vector a, en función de los vectoresunitarios i, j, k será:
a = ax i + ay j + az k
A los escalares ax, ay y az se les llama componentes cartesianas del vector a:
a= (ax,ay,az)









II. 3 Módulo y dirección de un vector
El módulo de un vector a, |a|, viene dado por su distancia euclídea (distancia entre su punto inicial y punto final en un sistema de ejes cartesianos), es decir:








El vector unitario en la dirección de a,al que llamaremos u, viene dado por:

Para determinar la dirección de un vector a hay que conocer los ángulos α, β, γ que forma, respectivamente, el vector a con los ejes coordenados XYZ, A sus cosenos de estos ángulos se les llama cosenos directores del vector a:



Las componentes tienen por valor:

Se verifica la relación:

Es decir, la dirección de la recta directriz del vector queda...