tema 11

´diz
Universidad de Ca
Departamento de Matem´aticas

´
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´ecnicas

Tema 11
N´umeros factoriales. N´umeros combinatorios. Binomio de Newton

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ıa Teresa Gonz´alez Montesinos

´Indice
1. N´
umeros factoriales

1

2. N´
umeros combinatorios

1

3. Binomio de newton2

4. Ejercicios propuestos

3

1

Tema 11

1. N´umeros factoriales
Se llama factorial de un n´
umero n ∈ N al producto de los n factores consecutivos que comienzan
por la unidad y terminan por n, esto es,
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1) · n.
Ejemplo 1.1
1! = 1,

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,

7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

Por convenio se ha establecido que,aunque 0 ∈
/ N y por definici´
on 0! no tenga sentido, 0! = 1.
Si n ∈ N, entonces siempre podremos hacer n! = (n − 1)! n, ya que
n! =1 · 2 · 3 · · · (n − 2) · (n − 1)·n.
(n − 1)!
Ejemplo 1.2 6! = 5! 6, 9! = 7! 8 · 9.

2. N´umeros combinatorios
Dados m, n ∈ N, se define el n´
umero combinatorio o coeficiente bin´
omico al n´
umero
m
n

=

m!
,
n!(m − n)!

y se leer´
a m sobre n.Con esta notaci´
on, se definen los siguientes n´
umeros combinatorios:
m
0

=

m!
m!
0
0!
1
=
= 1,
=
= = 1,
0!(m − 0)!
0! m!
0
0! 0!
1
m
m!
(m − 1)! m
=
=
= m.
1
1!(m − 1)!
1!(m − 1)!

Las propiedades fundamentales de los n´
umeros combinatorios se recogen en la siguiente
Proposici´
on 2.1 Dados m, n ∈ N, se satisfacen:
1)

m
n

2)

m
m
+
n
n+1=

Ejemplo 2.1

m
.
m−n

10
3

=

=

m+1
.
n+1
10
,
7

100
98

=

100
,
2

x
x−3
x
x
+
4
5

x
.
3

=

Ejemplo 2.2
8
8
+
4
5

=

9
,
5

12
12
+
x
x+1

=

13
,
x+1

=

x+1
,
5

15
15
+
x−1
x

=

16
.
x

2

Matem´aticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´ecnicas

Como una aplicaci´on de las propiedades de los n´
umeros combinatorios podemos escribir el siguiente
tri´
angulo aritm´etico conocido como el tri´
angulo de Tartaglia:
0
0
1
0

1
1

2
0

2
1

3
0

3
1

6
0

3
2

4
1

4
0
5
0

5
3

6
2
1
1
1
1
6

4

6
5

6
6

1
1
3
6

10
15

6
4

2
3

5

5
5

5
4

6
3
1

1

4
4

4
3

5
2

61

3
3

4
2

5
1

1

2
2

1
4

10
20

1
5

15

1
6

1

Hemos obtenido dos tri´
angulos is´
osceles: el primero formado por los n´
umeros combinatorios, y el
segundo, por los valores de esos mismos n´
umeros.
En ambos casos podemos ver la relaci´
on que guardan unos con otros. Aplicando la segunda propiedad, advertimos que cada n´
umero combinatorio es lasuma de los dos n´
umeros que est´
an situados
encima de ´el.

3. Binomio de newton
El binomio de Newton consiste en una f´
ormula que nos proporciona la potencia n–´esima de un
binomio. As´ı, si n ∈ N, se tiene que
(x + a)n =

n n
n n−1
n n−2 2
n n−3 3
n
n n
x +
x
a+
x
a +
x
a + ··· +
xan−1 +
a .
0
1
2
3
n−1
n

Este desarrollo tambi´en es v´
alido para ladiferencia de dos monomios sin m´
as que escribir (x − a) =
[x + (−a)]:
n n
n n−1
n n−2 2
n n−3 3
x −
x
a+
x
a −
x
a
0
1
2
3
n
n n
+ · · · + (−1)n−1
xan−1 + (−1)n
a .
n−1
n

(x − a)n =

Ejemplo 3.1
1) (x + y)4 =

4 4
4 3
4 2 2
4
4 4
x +
x y+
x y +
xy 3 +
y = x4 + 4x3 y + 6x2 y 2 + 4xy 3 + y 4 .
0
1
2
3
4

3

Tema 11

2) (x − y)4 =

4 4
4 3
4 2 2
44 4
x −
x y+
x y −
xy 3 +
y = x4 − 4x3 y + 4x2 y 2 − 4xy 3 + y 4 .
0
1
2
3
4

5
5
5
5
5
5
(2x)5 +
(2x)4 y 2 +
(2x)3 (y 2 )2 +
(2x)2 (y 2 )3 +
2x(y 2 )4 +
(y 2 )5 =
0
1
2
3
4
5
32x5 + 80x4 y 2 + 80x3 y 4 + 40x2 y 6 + 10xy 8 + y 10 .

3) (2x+y 2 )5 =

Propiedades
1) El t´ermino general del desarrollo bin´
omico (x + a)n viene dado por
n n−k k
x
a ;
k
si...