Tema1

TEMA 1: VARIABLE ALEATORIA
MULTIDIMENSIONAL
Estad´ıstica Avanzada
Grados en ADE, FYCO, MARKETING Y ECONOM ´IA
Dpto. de Estad´ıstica y Matem´atica Aplicada
Universidad de Almer´ıa

´
Dpto. Estad´ıstica y Matem atica
Aplicada

Variable aleatoria multidimensional

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TEMA 1: Variable aleatoria multidimensional.
´ conjunta e independencia
1.- Distribucion
2.- Esperanza y varianza
3.-Reproductividad
4.- Teorema Central del L´ımite.
5.- Distribuciones asociadas a la normal.

´
Detallaremos el caso bidimensional y explicaremos c omo
extenderlo al caso multidimensional.
Objetivos.
Representar varias variables conjuntamente.
Reconocer independencia entre v.a.
Identificar y resolver problemas donde aparecen repeticiones
de la misma v.a.
Conocer y manejar distribuciones de inter´es para elresto
de la asignatura.
´
Dpto. Estad´ıstica y Matem atica
Aplicada

Variable aleatoria multidimensional

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´ CONJUNTA E
DISTRIBUCI ON
INDEPENDENCIA

´
Dpto. Estad´ıstica y Matem atica
Aplicada

Variable aleatoria multidimensional

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Variable aleatoria bidimensional
´ que
Una variable aleatoria bidimensional es una funci on
´
asigna dos valores num ericos
a cada suceso elementaldel
espacio muestral, X : E −→ IR 2 , es decir, una variable cuyo
´
valor numerico
esta´ determinado por el resultado de un
experimento aleatorio.
´
de cruces
Ejemplo: Sea Z el n o de caras (X ) y el no maximo
consecutivas (Y ).
E
CCCC
CCXC
CXCC
CXXC
XCCC
XCXC
XXCC
XXXC

Z = (X , Y )
(4, 0)
(3, 1)
(3, 1)
(2, 2)
(3, 1)
(2, 1)
(2, 2)
(1, 3)

´
Dpto. Estad´ıstica y Matem atica
Aplicada

E
CCCX
CCXXCXCX
CXXX
XCCX
XCXX
XXCX
XXXX

Z = (X , Y )
(3, 1)
(2, 2)
(2, 1)
(1, 3)
(2, 1)
(1, 2)
(1, 2)
(0, 4)

Variable aleatoria multidimensional

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Distribuciones discretas conjuntas
Sea un experimento que involucra dos v.a. X e Y , cada una de las
cuales tiene una distribuci´on discreta. Si ambas tienen un numero
´
finito (o infinito numerable) de posibles valores, entonces existe un
numero
´finito (o infinito numerable) de posibles valores distintos para
´
la v.a. conjunta Z = (X , Y ) y se dice que Z tiene una distribucion
bidimensional discreta.
´ de probabilidad conjunta, de una variable aleatoria
La distribucion
bidimensional discreta Z = (X , Y ), con posibles valores de
X = x1 , . . . , xn y posibles valores de Y = y1 , . . . , ym , la notaremos por
´ que
P(Z = z) = P(z) = P(x, y)= P(X = x, Y = y), y es una funcion
asigna las probabilidades con que la variable aleatoria toma los
posibles pares de valores (x, y), de tal manera que las
probabilidades verifiquen las dos condiciones siguientes:
0 ≤ P(xi , yj ) ≤ 1
n m

i = 1, 2, . . . , n , j = 1, 2, . . . , m.

P(xi , yj ) = 1.

i=1j=1

´
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Variable aleatoria multidimensional

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Distribuciones continuas conjuntas
Sea un experimento que involucra dos v.a. X e Y , cada una de
´ continua, entonces se dice
las cuales tiene una distribucion
´
que la v.a. conjunta Z = (X , Y ) tiene una distribuci on
bidimensional continua.
´ de densidad conjunta, de una variable aleatoria
La funcion
´ f (x, y) que
bidimensional continua Z = (X , Y ), es una funci on
verifica las doscondiciones siguientes:
f (x, y) ≥ 0 ∀x, y.
∞

∞

−∞

−∞

f (x, y)dxdy = 1.

´ para cualquier conjunto A del espacio bidimensional,
y ademas,
f (x, y)dxdy

P[Z ∈ A] = P[(X , Y ) ∈ A] =
A

´
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Variable aleatoria multidimensional

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Caso multidimensional

´ de probabilidad conjunta, de una variable
La distribucion
aleatoria multidimensional discreta Z = (X1 , . . . , Xn ), cada
variable con mi posibles valores, la notaremos por
P(Z = z) = P(z) = P(x1 , . . . , xn ) = P(X1 = x1 , . . . , Xn = xn ), y
´ que asigna las probabilidades con que la
es una funcion
variable aleatoria toma los posibles valores (x 1 , . . . , xn ), de tal
manera que las probabilidades verifiquen las dos condiciones
siguientes:
0 ≤ P(x1 , . . . , xn ) ≤ 1 ∀x1 , . . . , xn...