Tema1

Campos Electromagn´eticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla

Tema 1: An´
alisis Vectorial
1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Superficie equiescalar. Campos vectoriales. L´ıneas y tubos de campo.
2. Integrales sobre campos: De l´ınea. Circulaci´on. De superficie. Flujo. De volumen.
3. Gradiente: Derivada direccional. Definici´on de gradiente en coordenadascartesianas. Interpretaci´on geom´etrica y propiedades. Definici´on intr´ınseca. Componentes en distintos sistemas coordenados.
4. Divergencia: Definici´on intr´ınseca. Expresi´on en distintos sistemas coordenados. Interpretaci´on
f´ısica. Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky).
5. Rotacional: Definiciones intr´ınsecas. Expresi´on en distintos sistemas coordenados. Interpretaci´on f´ısica. Teorema deStokes.
6. El operador nabla: Propiedades. Aplicaci´on doble sobre campos. Aplicaci´on sobre productos
de campos.
7. Diadas: Definici´on y propiedades. Aplicaciones al c´alculo diferencial.
8. Algunos teoremas integrales: Teoremas de Green. Teorema del gradiente. Otros teoremas.
´
´
9. Angulo
s´
olido: Definici´on y medida. Interpretaci´on geom´etrica. Angulo
s´olido subtendido por
una superficiecerrada.
10. Funci´
on δ de Dirac: Definici´on. Distribuciones. Propiedades. Funci´on δ tridimensional. Aplicaciones f´ısicas.
11. Campos irrotacionales: definici´on y propiedades.
12. Campos solenoidales: definici´on y propiedades.
13. Campos arm´
onicos: definici´on y propiedades.
14. Teorema de Helmholtz: Enunciado y demostraci´on. Fuentes escalares y vectoriales.

1.1.

Campos escalares yvectoriales

• Se define campo escalar, ϕ(r), como una funci´on de la posici´on que a cada punto del espacio
asigna una magnitud escalar. La funci´on debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener
significado f´ısico.
Ejemplos de campos escalares son la presi´on p, densidad ρ y temperatura T de un cuerpo,
definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo, ahora en dos dimensiones, es el de laaltitud
de un punto geogr´afico, h(x, y), respecto del nivel del mar.
Una representaci´on muy u
´ til de un campo escalar se consigue mediante una familia de superficies equiescalares, definidas como el lugar geom´etrico de puntos que satisfacen la ecuaci´on
ϕ(x, y, z) = C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que,
al variar, nos genera la familia. Un ejemplo derepresentaci´on mediante una familia de superficies
equiescalares lo tenemos en los mapas topogr´aficos que incluyen l´ıneas de nivel, o altitud constante.
En este caso bidimensional las superficies se sustituyen por l´ıneas.
• Se define campo vectorial, F (r), como una funci´on de la posici´on que a cada punto del espacio
Tema 1: An´alisis Vectorial

1

Campos Electromagn´eticos. 2◦ IngenierosIndustriales. Universidad de Sevilla

asigna una magnitud vectorial. La funci´on debe ser tambi´en monovaluada por la misma raz´on,
pero adem´as para que se trate de una magnitud vectorial debemos exigir que sus componentes se
transformen como las del vector de posici´on ante una transformaci´
on de coordenadas.
El campo de velocidades de un fluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales,
perola terna de campos escalares (p, ρ, T ) no lo es.
Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de l´ıneas de
campo, que se definen como aquellas curvas que cumplen la condici´on de ser tangentes al campo
en cada uno de sus puntos. Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial r0 mediante
la concatenaci´on de vectores elementales dados por la expresi´onΔri+1 = F (ri ), (i = 0, 1, . . .),
donde el par´ametro se hace tender a cero. Las ecuaciones que determinan este lugar geom´etrico
expresan simplemente la condici´on de paralelismo entre dr y F (r) en cada punto. En coordenadas
cartesianas,
dx
dy
dz
=
=
.
Fx
Fy
Fz

z

eF(r0)

eF(rn-1)

r0 r1

rn

O

y

x
Tambi´en resulta u
´ til a veces considerar el lugar geom´etrico de l´ıneas de campo que...