Tensiones Principales

2.2.- Estado Espacial de Tensiones
 El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una
matriz (tensor) de tensiones.

x

xy

xz

yx

y

yz

zx

zy

z

: Tensor de Tensiones

Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio.

L cos
ˆ
N

M
L,M,N : cosenos directores del vector N N
( L, M , N ) donde

cos
cos

y L2

M2N2 1

Sea ρn , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N.


n

(

x

,

y

,

z

)

Vector de Tensiones

Ax
Ay
Az

ˆˆ
A* x * N
ˆˆ
A* y * N
ˆˆ
A* z * N

ˆ
donde x (1,0,0)
ˆ
donde y (0,1,0)
ˆ
donde z (0,0,1)

Ax

A cos

; Ay

A cos

; Az

A cos

Realizando equilibrio de Fuerzas en cada una de las direcciones, seobtiene:
i)

Fx

0

ii )

Fy

0

iii )

Fz

0

x

A

y

A

z

A

x

A cos

xy

yx

A cos

A cos

y

A cos

yz

xz

zx

A cos

A cos

zy

A cos

z

A cos

A cos

Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en forma matricial:
x

xy

xz

y

ˆ
N

n

x
yx

y

yz

L
M

z



zx

zy

z

N

 Calculemos latensión Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido por
el vector Normal N.


n

ˆ
N

n

La tensión Tangencial puede ser calculada a partir del
vector de tensiones o calculada a partir de σn.


n

ˆ
T

n



2
n

2

2

n

n

ˆ
Plano cuya normal es N

2.2.1.- Esfuerzos Principales en el Estado Espacial de Tensiones
2.2.1.1.- Esfuerzos Principales


nn

ˆ
N

n

ˆ
T

En el plano Principal τ = 0


n

ˆ
N

Por definición el vector de tensiones es:


n

ˆ
N
(

ˆ
N
ˆ
I) N

ˆ
N

PROBLEMA DE VALORES PROPIOS
0

donde I

matriz Identidad de 3x3

Sistema de ecuaciones de la forma

⇒

AX=0

Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:
Det A

0 , es decir

Det

I0

El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre de
“PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.
De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como “Vectores
Propios” y son:

ˆ
( 1 , n1 ) ; (
1

,

2

y

2

ˆ
, n2 ) y (

3

ˆ
, n3 )

Tensiones Principales

3

Direcciones Principales, Vectores Unitarios Normales alos planos que actúan
las tensiones σ1, σ2 y σ3, respectivamente.

ˆˆ
ˆ
n1 , n2 y n3

Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:
x

Det

xy
yx

y

zx

(

y

)

x

xz

zy

yz

z

yx

z

yx

yz

xy
zy

0

yz

y

0

xz
zx

zx

z

zy

Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:

1
3

2I1

I2

I3

0

2
3

Donde los términos I1 , I2 e I3 se denominan “INVARIANTES DE TENSIONES”
I1

x

I2

x

y

I3

x

y

y

z

2
x

z

2

z

y

z

2

xy

2

xz

yz

2
xy xz yz

x yz

2

2

y xz

z xy

2.2.1.2.- Direcciones Principales
El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:
ˆ
I) N

(

0

donde Imatriz Identidad de 3x3

Resolviendo para cada tensión principal, encontramos sus direcciones principales

(

1

ˆ
I ) n1

0

ˆ
n1

(

2

ˆ
I ) n2

0

ˆ
n2

( L2 , M 2 , N 2 ) en que L2

(

3

ˆ
I ) n3

0

ˆ
n3

( L3 , M 3 , N3 ) en que L3

2

( L1 , M1 , N1 ) en que L1

M1
2

2

2

N1

M2
M3

2

2

2

1

N2
N3

2

2

11

Resumiendo, tenemos un sistema Espacial de tensiones en un punto de un cuerpo sólido
cualquiera:

Calculamos las Tensiones y Direcciones Principales:

Calculamos el Esfuerzo de Corte Máximo que se desarrolla:

Giro de Coordenadas en el Espacio

Cualquier vector de componentes (x,y,z), se puede
transformar a un sistema de coordenadas (x’,y’,z’)
mediante una Matriz de Rotación (...