TEOR A DE EXPONENTES

TEORÍA DE EXPONENTES

3.

Exponente Negativo

Concepto:

n

a
Es la operación que consiste en multiplicar un
número llamado base tantas veces como factor,
como lo indica otro llamado exponente, para
obtener un resultado llamado potencia.
Así tenemos:

1

=

a

 a  IR  { 0 }  n  IN

n

Ejemplo:

2

-8

- 9- 2

-

-1

=2

EXPONENTE

( )

-8

1
2

-

=2

-1
2

-

9

=2

-8

( 31 )

1

= 2-

(23)- 3

1
2
=
2
2

=

Notación:
4.

bn = P
b → base
n → exponente
P → potencia

donde:

Exponente Fraccionario
m

an

 n a m  n a  ; n  IN, n  2
m

Luego:

bn = b b b

Ejemplo:

b

“n”veces
(“n”factores)

81

PROPIEDADES
1.

5.

Exponente natural

a; si n = 1

n

3
4

n veces

4

3

81)  3  27
3

Potenciación
m

x

n

(x

m

) =x

x

a =
a.a.a....a Si n  N; n  2

(

m+n

=x
n

m .n

;x  IR  m, n  IN
; x  IR  m, n  IN

Ejemplo:
3

xy 3 xy 3 xy ...3 xy  (3 xy )30  ( xy )10

Ejemplo: Reducir

30 veces

2

2.

3

4

P  x . x . x . x ... x

Exponente Cero

n
n ( n + 1)

P = x

a0 = 1; a  IR  a  0
Ejemplo:

(- 4 +

1 + 2 + 3 + ... + n

2

= x

Ejemplo:
2

0

0

) = 1 (- 425)

0

= 1 - 350 = - 1

2 3

4

50

( ab )

n

(...(( x ) ) ...)

=x

1 . 2 . 3 .... 50

=x

50!Nota 0° es indeterminado

(4 -

3

16

)

- 8+3

= (4 - 4)

Dicha expresión no está definida

2-2

=0

0

n

=a b

n

(8 x y 2 z )16 = ( 8 x )16( x2 )16 z 16 =x2y32z1
6

a

b n

(x .y ) = x

Ejemplo:

an bn

y

3 4 2

2 4 3

2 3

4 3

3.4.2

x =

24

x =

x

6 12

(x y ) = (x ) (x ) = x y

am

=a

a

n

a

3+5 x

m-n

; m, n  IN y m  n, a  IR - {0}

a
b

a

=

n

bn

m

p

n

b c =

a

-2

(a 2x ) - 2

=

3 y

(b )

(b

3y - 2

a - 4x

=

)

b

- 6y

=

7

4

3 25 5 =

b 6y
a

n

x

a m

x

( am + b ) p + c

+
b p

x

c

=x

 n an b

nmp

[( 3 . 2 + 2 ) 4 + 3] 2 + 3
3

x

3

x

2 4

x

3

x

3

3.2.4

=x

Ejemplo:

73

32 =

a
=
b

c

Ejemplo:

n ab

n

nmp

3 28 2 140 5

7

+

4x

Radicación

8

b

Regla Práctica

(a 2 ) x

a b

nm

; n  IN  b  IR - {0}

Ejemplo:

6.

a

Ejemplo:3+5 x - (3 - 5 x )
10 x
=
a
=
a
a3 - 5 x
n

n

6

16 . 2 =
=

na
nb

a

8

b

6

4

=a b

24

3

Regla Práctica

; b  0 si n es par

+
n

a 0y b >0

14

=x

16 2 = 4 2

a

x 

m

+
b

x 

p

x

c

(am - b ) p - c
nmp

=x

Ejemplo:
4

81
16

=

4

81

4

16

=

3

Ejemplo:

2
( 4 . 2 - 1) 4 - 1

m n

a 

m .n

a ; m, n  IN

Si m.n es par  a  0

3

4

x 

x 

4

x =x

3.2.4

29

=x

24OBSERVACION
EXPRESIONES AL INFINITO
Para realizar diversas operaciones a través
de la potenciación es necesario recordar las
potencias más usuales:

1) Radicales n-esimos al infinito en forma de
producto:

POTENCIAS MÁS USUALES:
EN BASE
2:

EN BASE
3:

EN BASE
4:

EN BASE
5:

EN BASE
7:

21= 2

31= 3

41=4

51= 5

71= 7

22= 4

32= 9

42=16

52= 25

72= 49

23= 8

33= 27

43=64

53=125

73= 34324= 16

34= 81

44=256

54= 625

74=2401

25= 32

35= 243

45=1024

55= 3125

26= 64

n

A

n

A

n

A . . . 

=

n 1

A

2) Radicales n-esimos al infinito en forma de
cociente.

n

36=729

A

n

A

n

A . . . 

=

n 1

A

27= 128
28= 256

3) Radicales cuadráticos al infinito en forma de
suma.

29= 512
210= 1024

A A A . . .  =n+1

n(n+1)

ECUACIONES EXPONENCIALES
Definición: Sonaquellas ecuaciones cuya
incógnita se encuentra en los elementos de una
potencia.

4) Radicales cuadráticos al infinito en forma de
diferencia.

PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN
I)

A

Igualdad de Bases:

II)

m

Igualdad de Exponentes:

A . . .  =n


n(n+1)

Si: A = A
 n = m
“A bases iguales, exponentes iguales”
n

A

5) Radicales cúbicos al infinito en forma de
suma.

Si: A n = B n  A = B
“A exponentesiguales, bases iguales”

3

III) Analogía de Términos :

A

3

A

3

A. . . 

= n


(n-1)n(n+1)

Si: x x = a a  x = a
“Igualdad por semejanza de construcción”

6) Radicales n-esimos, finitos en forma de
producto
IV) Exponente Cero:
Si: A n = B m 

n  0

m  0

“Para expresiones algebraicamente diferentes”

n

A

n

A

n

A . . .

k radicales

n

A 

nk

nk  1

A n 1

POLINOMIOS...