Teorema de de helmholt

El rotacional de un gradiente es igual a cero

Propiedades del Rotacional
1. Si el campo escalar f (x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) = .
2. Si F (x, y, z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = .
3. Si el campo vectorial F (x, y, z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y elrot (F ) = entonces F es un campo vectorial conservativo.
El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la función vectorial F (x, y, z) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se interpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto (Xo,Yo,Zo). Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot(F) =entonces se dice que el fluido es irrotacional.

Por el teorema de Clairaut.
Como un campo vectorial conservativo es aquél, para el que , el teorema se puede expresar también como sigue:
Si es conservativo, entonces . |

Este resultado nos da una forma de verificar que un campo vectorial no es conservativo
Teorema de Helmholth (Clasificación de Campos Vectoriales)
Los campos vectorialespueden clasificarse en:
* Solenoidal e irrotacional, si se cumple:
div F = 0 y rot F = 0
* Solenoidal pero no irrotacional, si se cumple:

en este caso se tiene:
F = rot A
y para determinar F debe conocerse el valor del rotacional de F y las condiciones de contorno.
* Irrotacional pero no solenoidal, si se cumple:

en este caso se cumple:
F = grad U
y para determinar F debeconocerse el valor de la divergencia F y las condiciones de contorno.
* No solenoidal no irrotacional, si se cumple:

este caso es la superposición del caso segundo y del tercero. El teorema de Helmholth establece entonces lo siguiente: se puede determinar un campo vectorial cualquiera si se conocen los valores de la divergencia y rotacional del campo en cualquier punto y además lascondiciones en los límites (condiciones de contorno). Como se observa, el teorema de Helmholth establece las condiciones para determinar un campo vectorial en general, y representa en sí mismo la superposición de los casos segundo y tercero.
En definitiva, lo que establece este teorema, es que un campo vectorial general F, se puede considerar como la suma de un irrotacional y otro solenoidal:

1.6Rotacional de campos vectoriales conservativos.
En el caso particular de que F sea un campo conservativo tendremos:
(5.42)
y el segundo miembro, si  fuera un vector, sería el vector nulo. Sin embargo  no es un verdadero vector, sino un operador vectorial, a pesar de lo cual la conclusión es verdadera:
Sea F =   .U, siendo, . Entonces
=
y como el orden de derivación parcial no afecta alresultado, nos queda:
(vector nulo)
Lo inverso también es cierto, o sea, si el rotacional de un campo vectorial es el vector nulo, éste es conservativo. En efecto: si , por el teorema de Stokes:

es decir, la circulación de F a lo largo de una curva cerrada c es nula y por lo tanto se trata de un campo vectorial conservativo.
1.1.1 Gradiente.
Sea U un campo escalar estacionario. Nos interesaconocer con qué rapidez varía cuando nos desplazamos a lo largo de una determinada dirección (definida por una recta). Sea A el punto en el que queremos conocer la rapidez de la variación de U en la dirección de la recta definida por los puntos A y B. Al ir de A a B el campo U habrá experimentado una variación  U en un desplazamiento  r.

Luego la rapidez media en dicho trayecto será:  U/ r, y larapidez puntual en A será evidentemente el límite de  U/ r, cuando  r tiende a cero. Este límite es la definición de DERIVADA de U en el punto A y en la dirección AB. Pero sabemos que el límite de  U cuando  r tiende a cero es dU y en un sistema de coordenadas cartesianas:
(5.1)
que puede expresarse vectorialmente así:
(5.2)
luego,
(5.3)
donde el primero de los vectores del segundo...