Teorema de fubini. cálculo de áreas. centro de masas

Apunte de Integrales: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas.
INTEGRALES DOBLES
F: A  R ²  R S  A
Fx,ydxdy
Interpretación geométrica en R3: Volumen debajo del grafico de F

Teorema de Fubini:

∫∫ 5 F (x, y) dx dy = a1b1a2b2Fx,ydydx=a2b2a1b1Fx,ydxdy (Caso de limites bien definidos)

dy dx = dx dy
Propiedades:
1) Dadas F y G continuas en A  R ², y dada α y β R:
∫∫ A(α F + β G) (x, y) dx dy = α ∫∫ A F (x, y) dx dy + β ∫∫ AG (x, y) dx dy
2) Dadas F y G continuas en A  R ² tales que F (x, y)≥ G (x, y), (x, y)  A:
∫∫ A F (x, y) dx dy ≥ ∫∫ A G (x, y) dx dy
Calculo de áreas: Area (A) = ∫∫ A dx dy
Ejemplo: Calcular el área de A  R ², limitada por las curvas y = e x, y = e -x, y = e ²

Area = ( dy) dx + ( dy) dx Obs: Donde se lee e2 es e ², e-x es e-x, yex es ex.
Calculo de masas: Masa = ∫∫ A δ (x, y) dx dy donde δ (x, y) es la densidad superficial
Centro de masa:
X cm = (∫∫ A x δ (x, y) dx dy)/M Y cm = (∫∫ A y δ (x, y) dx dy)/M
Teorema: ∫∫ A F (x, y) dx dy = ∫∫ A+F (G (u, v)).|det D G| du dv obs: det DG ≠ 0 para formar un área.
INTEGRALES TRIPLES
Calculo de Volúmenes:
Vol (v) = ∫∫∫ V dx dy dz
Calculo de Masas: Masa (V) = ∫∫∫ V δ (x, y,z) dx dy dz
Centro de masa: (∫∫∫ V x δ (x, y, z) dx dy dz) /M Momento de inercia: I0 = ∫∫∫ Vd ² δ (x, y, z) dx dy dz
Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∫∫∫ V F (x, y, z) dx dy dz = F (x, y, z) dx dy dz
Teorema: Cambio de variables:
Dada f: k  R³  R, F continua, G: r* R³  R³, G  C¹, inyectiva con G (k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0, (u, v, w) k*): entonces: ∫∫∫kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ kF(g(u, v, w)) .|det (DG)|du dv dw
F(x, y, z) = dv
F(g(x, y, z)).|det(DG)| = dv
Obs: el teorema sigue siendo valido si det DG (u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.
Aplicación: Coordenadas Cilíndricas :

X = r cos θ
Y = r sen θ
Z = z | r = √ (x ² + y ²) (distancia al eje z)
dv = |
G (r.cos θ,r.sen θ, z)
∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫k*F(r.cos θ, r.sen θ, z).r.dz.dr.d θ
Método de trabajo:

Ejemplo: Calcular el volumen de μ limitado por √ (x ² + y ²)≤ z ≤ R

Vol = r dz dr d θ = (Rr-r ²) dr d θ = Rr ²/2-r³/3 | d θ = R³/6 d θ = π R³/3
Integrales de Superficie:
en superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie)
Area (s) = ∫∫ Axy |F|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .F /|F´z| dx dy
Ejemplo: s: z = √(x ² + y ²) Limites:x ² + y ² ≤ R

F (x, y, z) = √(x ² + y ²)-z
F´ x = x/ (√ (x ² + y ²)) | F = (x/ (√ (x ² + y ²)), y/ (√ (x ² + y ²)), -1) |
F´ y = y/ (√ (x ² + y ²)) | |
F´ z = -1 | |
| |F| = √2 |

Area Lateral = ∫∫ Axy |F|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy √2.dx dy = | √2 ∫∫ Axy dx dy | = √2 π R ² |
| Area del circulo | |
Teorema de Gauss (o de la divergencia):
Obs: Con este método se calcula elvector normal exterior a la superficie.
F ds = ∫∫∫ V .F dx dy dz
F :Divergencia
Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera.
Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)
Obs: Si me queda el flujo neto negativo, significa quetiene sentido opuesto al normal exterior.
Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.
Teorema de Stocks (o del rotor): F dl = ∫∫ S  x F.ds
Obs: la relación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.
En practica: Te piden calcular la circulación de una F (x, y, z) a lo largo deuna curva.
xF = | i | j | k |
| ∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z |
| F1 | F2 | F3 |
(F1, F2, F3) Componentes del campo que circula
Componente i = ∂/∂y F3 - ∂/∂z F2 (derivada respecto de y de F3 menos la derivada respecto de z de F2)
F dl = ∫∫ Axy  x F F / |F´z| El gradiente del plano en el que encuentro la figura
El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha....