Usando el teorema de fubini.

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- 1

Guía Ingeniería Matemática Semana 11
Universidad de Chile

1.

RESUMEN

Conjuntos Jordan-medibles. Decimos que un conjunto A ⊂ N acotado tiene medida nula si para todo ε > 0 existe una colección finita de rectángulos {Ri }i∈I tal que A⊂
i∈I

Ê

Ri ,

V (Ri ) < εi∈I

Decimos que un conjunto D en N es medible en el sentido de Jordan o simplemente Jordan-medible si su frontera F r(D) es de medida nula. • Sea f una función continua sobre un conjunto D cerrado, acotado y Jordan-medible en N . Entonces f es integrable sobre D. En particular, el volumen de un conjunto cerrado, acotado y Jordan-medible en N está bien definido y vale V (D) = D 1.

Ê

ÊÊ

Teorema de Fubini. Sean R1 ⊂ N , R2 ⊂ m , R = R1 × R2 ⊂ y f : R → , una función integrable, y tal que las funciones

Ê

Ê

Ê

Ê

N +m

x ∈ R1 →
R2

f (x, y)dy,

y ∈ R2 →
R1

f (x, y)dx,

están bien definidas y son integrables. • Entonces f=
R R1 R2

f (x, y)dy dx =
R2 R1

f (x, y)dx dy.

Si R = [a1 , b1 ] × · · · × [aN , bN ] y f : R → siguen están bien definidas setiene que
b1 b2 bN

Ê y si todas las integrales que
dxN −1 ) · · · dx1 .

f=
R a1 a2

···
aN

f (x1 , . . . , xN )dxN

El orden en las integraciones sucesivas puede alterarse como se desee. Cuando se quiera enfatizar el orden de integración es conveniente escribir
b1 b2 bN

f=
R a1

dx1
a2

dx2 · · ·
aN

f (x1 , . . . , xN )dxN .

Derivación bajo el signo integral oRegla de Leibnitz • Sea f : 2 → de clase C 1 y α, β : → funciones diferenciables. Entonces la función F : → definida por:

Ê

Ê

Ê Ê

Ê

Ê

β(x)

F (x) =
α(x)

f (x, t) dt

es diferenciable y su derivada es: dF dx
β(x) α(x)

f (x, t) dt = f (x, β(x)) β ′ (x)−f (x, α(x)) α′ (x)+

β(x) α(x)

∂ f (x, t) dt ∂x

1

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2.EJERCICIOS PROPUESTOS

Conjuntos Jordan medibles P1.- Sea f :

Ê

n

Ê una función no negativa en C ⊂ D . Se define: C (f, C) = {(x, x : 0≤x ≤ f (x)} ⊂ Ê
→
f 0 n+1 n+1 n+1

Si C es medible Jordan y f es continua en C, demuestre que C0 (f, C) es medible Jordan en n+1 y que v(C0 (f, C)) = f . Interprete geo-

Ê

métricamente los casos n = 1 y n = 2. Teorema de Fubini P2.- Sea f : [0, 1] ×[0, 1] →

C

Ê definida por:
1 2y
1 1

f (x, y) = Muestre que la integral iterada es integrable. P3.- Calcular:
0 0

x∈ x∈I

É

f (x, y)dy dx existe, pero f no
0

2

1 y/2

yex dx dy

3

1 y

P4.- Considere: I =
0 0

(x2 + y 2 )dxdy +

2 2−y 1 0

(x2 + y 2 )dxdy

a) Calcule I directamente. b) Dibuje la región de integración. c) Calcule I invirtiendo el orden deintegración.

P5.-

a) Sea g : [0, 1] →

Ê integrable. Pruebe que:
1

 

1

0

x

b) Calcular:

g(t)dt dx =
1



1

tg(t)dt
0

0



1



y

e−y/x dx dy



2

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P6.- Una placa de metal triangular homogéneo de masa M tiene vértices (0, 0), (1, 0), (0, 3). Encuentre su momento de inercia, definido por: Ix =
Ω

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ρ(x, y) y 2 dx dy,

Iy =
Ω

ρ(x, y) x2 dx dy

donde Ω es la región que define la placa y ρ es la densidad. P7.- Calcule

1 −1 0

1−|x| 0

2x+y

dz dy dx utilizando los órdenes de integración dx dy dz y dy dz dx. P8.- Calcule el volumen de la región acotada por las ecuaciones: x y z z = = = = 0 0 2 x2 + y 2

P9.- Calcule el volumen de la región determinada por lassiguientes desigualdades: x2 + z 2 ≤ 9 y + 2z ≤ 6 y − 2z ≤ 6 y ≥ 0

P10.- Una bola centrada en el origen y de radio R se corta por un plano horizontal a una altura h (0 < h < R). Calcular el volumen de la parte superior de la esfera que se encuentra sobre dicho plano. P11.- Considere la integral iterada: 
2a

√

2ax

I=

0

donde f es una función continua.

 

√

2ax−x2

 f (x,...