Teoremas De Integracion

Teoremas sobre Integrales

1.

Teorema de Green en el plano

Sea K una regi´n cerrada y acotada en el plano xy cuya frontera C se compone de un n´mero o u finito de curvas suaves. Sean F1 (x, y)y F2 (x, y) funciones continuas y que tienen derivadas parciales ∂F1 /∂y y ∂F2 /∂x continuas en cualquier parte de un dominio que contiene a K. Entonces (1.1)
K

∂F2 ∂F1 − ∂x ∂y

dxdy =
C

F1dx + F2 dy;

aqu´ se integra a lo largo de la frontera completa C de K de tal modo que K est´ a la izquierda a ı a medida que se avanza en la direcci´n de integraci´n. o o

Comentario. : Laf´rmula (1.1) puede escribirse en forma vectorial o (1.2)
K

ˆ ∇ × F · kdxdy =
C

F ·r,

donde F = F1ˆ + F2 . ı ˆ Otra manera es: (1.3)
K

∇F dxdy =
C

F · ns, ˆ

donde F = F2ˆ − F1  y nes el vector normal a la curva C que apunta hacia afuera. ı ˆ ˆ

2.

Teorema de la Divergencia

Sea T una regi´n cerrada y acotada en el espacio cuya frontera es una superficie S suave porsecciones o y orientable. Sea F (x, y, z) una funci´n vectorial que es continua y tiene primeras derivadas parciales o continuas en alg´n dominio que contiene a T . Entonces u (2.1)
T

∇F dV =
S

F ·ndA ˆ

donde n es el vector unitario normal exterior a S. ˆ
1

2

2.1. Corolarios. Teoremas de Green. Sean f y g funciones escalares tales que F = f ∇g satisface los supuestos del teorema de ladivergencia en alguna regi´n T . Entonces se tienen las o relaciones vectoriales ∇F = ∇(f ∇g) = f ∇2 g + ∇f · ∇g. Adem´s, puesto que f es una funci´n escalar, a o F · n = n · (f ∇g) = f [ˆ · ∇g]. ˆ ˆn La expresi´n n · ∇g es la derivada direccional de g en la direcci´n del vector normal exterior n de la o ˆ o ˆ superficie S en el teorema de la divergencia. Si esta derivada se denota por ∂g/∂n, laf´rmula del o teorema de la divergencia se convierte en la “primera f´rmula de Green” o (2.2)
T

(f ∇2 g + ∇f · ∇g)dV =
S

f

∂g dA. ∂n

La f´rmula (2.2), junto con los supuestos se...