Teoremas Hodrostaticcos

II.- FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA
http://libros.redsauce.net/

II.1.- TEOREMAS HIDROSTÁTICOS
Dentro de los líquidos en reposo, solamente es posible una forma de tensión, la de compresión, es decir, la presión hidrostática, de la que se derivan las siguientes propiedades:
a) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es normal a la superficie sobre la cual se
ejerce. En efecto,si se supone que no es normal, deberá tener una dirección cualquiera; si la fuerza no
r
perpendicular a la superficie es F , se puede descomponer en dos, una paralela a la superficie, y otra
normal. La fuerza paralela hace que las capas de fluido deslicen unas sobre otras, (fuerzas de viscosidad), en contra del principio de que en Hidrostática la viscosidad es
nula, Fig II.1.
Por lo tanto:r
r
r
r
r
r
r
- F1 = 0 , ( Fuerza de viscosidad ) ; F1 = 0 ; F = F1 + F2 ; F = F2
Fig II.1.- Presión en un fluido en reposo

luego tiene que ser perpendicular.

b) En un fluido en reposo, la presión en un punto cualquiera es la misma sobre todo elemento de superficie, cualquiera sea la dirección de aquella, es decir, la presión no depende del ángulo de inclinación de la
superficiesobre la que actúa.
Si por un punto A del fluido se hacen pasar tres planos que formen un sistema ortogonal S1, S2 y S 3,
Fig II.2, y un cuarto plano infinitamente próximo al punto A, y perpendicular a la dirección de la presión
escogida en A, y se aplican las ecuaciones mecánicas de equilibrio, Σ F= 0, sobre los tres ejes elegidos, y
teniendo en cuenta las siguientes observaciones:
- La presiónp forma ángulos α , β , γ, con los ejes cartesianos elegidos.
- Sobre cada cara S1, S2 y S3 se ejercen las presiones p1 , p2 , p3
- El peso de la masa líquida G contenida en el tetraedro formado por los cuatro planos, pasa por el
c.d.g. del tetraedro
II.-13

Fig II.2.- Presión en un punto

 Pr oyecci ón sobre Ax: p1 S1 + 0 + 0 - p S cos α - G cos α ' = 0
se obtiene:  Pr oyecci ónsobre Ay: p2 S2 + 0 + 0 - p S cos β - G cos β ' = 0
 Pr oyecci ón sobre Az: p3 S3 + 0 + 0 - p S cos γ - G cos γ ' = 0
y como el cuarto plano S está muy próximo al punto A, al tomar límites el valor de G tiende a cero, por lo
que se tiene:
 p1 S1 = P S cos α
 S1 = S cos α
p2 S2 = P S cos β , y como:  S2 = S cos β

 p3 S3 = p S cos γ
 S3 = S cos γ

⇒

p 1 = p 2 = p3 = p

por lo quela presión no es una función vectorial, por cuanto es la misma para cualquier dirección, pero
diferente en cada punto. Por lo tanto:
p = f ( x , y , z ) ; dp =

∂p
∂p
∂p
dx +
dy +
dz
dx
dy
dz

Esta propiedad de la presión hidrostática para líquidos en reposo, se cumple también para líquidos no
viscosos en movimiento. Sin embargo, para líquidos viscosos en movimiento, surgentensiones tangenciales, por lo que la presión hidromecánica, en rigor, no posee la propiedad indicada.
II.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO DE UNA MASA LIQUIDA
Vamos a obtener las ecuaciones diferenciales del equilibrio de un líquido en el caso más general,
cuando sobre el mismo actúe no solo la fuerza de gravedad, sino también otras fuerzas de masa.
Consideraremos en un líquido en reposo,un punto cualquiera M de coordenadas x, y, z, y presión p; en
el líquido de densidad ρ, tomamos un volumen elemental en forma de paralelepípedo con sus aristas paralelas a los ejes de coordenadas, e iguales respectivamente a dx, dy y dz, en el que el punto M es uno de
sus vértices, Fig II.3.
r
Al examinar las condiciones de equilibrio del volumen elegido, representamos por F (X,Y,Z) a laresultante de las fuerzas exteriores por unidad de masa, por lo que las fuerzas que actúan sobre el volumen
escogido según las direcciones de los ejes de coordenadas serán iguales a estas componentes multiplicadas por la masa del volumen elegido.
II.-14

Fig II.3.- Volumen infinitesimal de líquido en reposo

La presión p es función de las coordenadas (x, y, z) del punto M; al pasar del punto M,...