Teoria De Anillos

Cap´ ıtulo 3

Anillos
Hemos utilizado estructuras en las que hay dos operaciones, como la suma y el producto en Z. El objeto m´s b´sico de este tipo es un anillo, cuyos axiomas son bastante parecidos a los axiomas aritm´ticos de a a e los enteros, aunque ligeramente m´s d´biles; y, por lo tanto, m´s generales. a e a

3.1

Anillos

Definici´n 3.1.1 Un anillo es un conjunto A en el que hay definidasdos operaciones binarias + y · que o cumplen los axiomas siguientes: 1. (A, +) es un grupo conmutativo 2. · es asociativa 3. · es distributiva respecto a +. Las operaciones + y · se llaman suma y producto en el anillo (aunque pueden ser diferentes de la suma y producto usuales). El elemento neutro para + se representa con el s´ ımbolo 0 (elemento cero) y el sim´trico e aditivo de a se escribe −a yse denomina opuesto de a. Si la operaci´n · es conmutativa se dice que A es un anillo conmutativo. Si existe neutro para · se o dice que A es un anillo unitario y el neutro se denota por el s´ ımbolo 1 (elemento uno). Ejemplo 3.1.1 1. (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (Zm , +, ·)

2. El conjunto de matrices 2 × 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma y producto de matrices. Este anillo noes conmutativo, pero s´ es unitario. ı 3. (Z, ⊕, ⊗) con ⊕ y ⊗ definidas, para cada par de n´meros x, y por x⊕y = x+y −1, x⊗y = x+y −xy. u Es un anillo conmutativo y unitario en el cual el neutro para ⊕ es el n´mero entero 1 y el neutro u para ⊗ es el n´mero entero 0. u 4. En A = {a, b, c, d, e} se define las operaciones siguientes dadas por la tablas + a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a bd d e a b c e e a b c d · a b c d e a a a a a a b a b c d e c a c e b d d a d b e c e a e d c b

Es un anillo finito conmutativo y unitario. El elemento a es el neutro para la suma, mientras que b es el neutro para el producto. 1

2 A partir de aqui, consideraremos que (A, +, ·) es un anillo. Proposici´n 3.1.1 o

CAP´ ITULO 3. ANILLOS

1. Para todo elemento a ∈ A se verifica que 0 = 0 · a = a · 0.2. Si A es unitario y A = {0} entonces 0 = 1. En efecto, para a = 0, a · 1 = a = 0 = a · 0, por lo tanto 0 = 1. 3. (−a) · b = −(a · b) = a · (−b), ∀a, b ∈ A. 4. (−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ A. (Demostraci´n.) o

3.2

Divisores de cero y unidades

Definici´n 3.2.1 Un elemento a de un anillo A se llama divisor de cero si existe un elemento no nulo o b ∈ A tal que a · b = 0 ´ b · a = 0. Cuando a = 0se denomina divisor de cero propio. o Un elemento a de un anillo unitario A se llama inversible (o unidad) si a posee inverso multiplicativo, es decir, si existe un elemento b ∈ A tal que a · b = 1 = b · a. Observaci´n 3.2.1 Con la notaci´n anterior, si a es unidad el elemento b es unico, se denomina inverso o o ´ de a y se representa por a−1 . Se denota por U (A) el conjunto de los elementosinversibles del anillo A, que es un grupo con la operaci´n producto, llamado grupo multiplicativo de A. o Ejemplo 3.2.1 1. Z no tiene divisores de cero propios y U (Z) = {1, −1}.

2. En R no hay divisores de cero propios y U (R) = R − {0}. 3. En Zm un elemento a es inversible si, y s´lo si, m.c.d.(a, m) = 1, de lo que se deduce que U (Zm ) o es un grupo de orden φ(m). Por ejemplo, U (Z8 ) = {1, 3, 5,7}. 4. En el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, la matriz B es un divisor de cero, y las matrices inversibles son aquellas cuyo determinante es no nulo; por ejemplo, D es inversible.
„ 2 3 « 4 6 „ 2 3 « 3 6

B=

D=

5. En el apartado 4 del Ejemplo 3.1.1, todo elemento no nulo es inversible. Proposici´n 3.2.2 Sea a ∈ A, a = 0. o 1. El elemento a es un divisor de cerosi, y s´lo si, a no es simplificable para el producto. o 2. Si a es un elemento inversible, a no es divisor de cero. (Demostraci´n.) o

3.3.

DOMINIOS Y CUERPOS

3

3.3

Dominios y cuerpos

Los conceptos de divisor de cero e inversible conducen a dos tipos importantes de anillos: los dominios y los cuerpos. Definici´n 3.3.1 Un anillo conmutativo unitario A, se denomina o 1. dominio de integridad...