Teoria De Control

Respuesta en Frecuencia
Introducción
El termino respuesta en frecuencia es acunado al examen que se efectúa a la respuesta de un
sistema en estado estable ante una entrada a una señal senoidal. En el análisis de respuesta en frecuencia,
la frecuencia de la señal de entrada se hace variar en un cierto rango, para estudiar el comportamiento y
las características de la respuesta resultante.
Eneste capítulo se efectúa una breve y somera discusión y exposición de elementos
correspondientes al análisis de la respuesta en frecuencia de sistemas de control lineales e invariantes en
el tiempo. En particular se aborda el famoso método grafico, minado trazado asintótico de Bode;
conocido vulgarmente como diagrama de Bode.

Salida en Estado estable para una Entrada Senoidal
Considere unsistema lineal e invariante en el tiempo como el de la Figura 1.

x(t )

y (t )

G (s )

Figura 1. Sistema lineal e invariante con el tiempo
Para este sistema lineal e invariante en el tiempo es caracterizado por la siguiente función de
transferencia:

∏ (s − z )
m

Y (s )
G (s ) =
=K
X (s )

j

j =1
n

∏ (s − p )
i

i =1

donde por simplicidad se ha supuesto asumidoque el sistema tiene polos y ceros reales simples. Interesa
determinar la respuesta del sistema a una entrada sinusoidal de la forma:

x(t ) = Xsen(ωt )

En el dominio transformado es:

X (s ) =

Xω
s +ω2
2

Conociendo la función de transferencia G(s), bajo condiciones iniciales nulas, se tiene:

∏ (s − z )
m

Y (s ) = X (s )G (s ) = K

j

j =1
n

∏ (s − p )

X (s )

ii =1

en donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada x(t), ya fue definido.

∏ (s − z )
m

Y (s ) = X (s )G (s ) = K

j

j =1
n

∏ (s − p )
i

i =1

Expandiendo en fracciones simples, se tiene:

Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007

Xω
s +ω2
2

Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total oparcial de este documento. Derechos de Autor Reservados.
Copyright © 2007. Francisco M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org

Capítulo 4

2

Respuesta en Frecuencia

n

αi

i =1

s − pi

Solo para ser empleado con objetivo de evaluación, o académicos. Prohibido la reproducción total o parcial de este documento. Derechos de Autor Reservados.
Copyright © 2007. Francisco M.Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org

Y (s ) = ∑

+

α0

α*

+0
s + jω s − j
14 244
4
3
(1)

Donde:

α i = lim (s − pi )G (s )
s → pi

α 0 = lim (s + jω )G (s )
s → − jω

α0 =
El término (1), resulta:

Xω
s +ω2
2

Xω
(s + jω )(s − jω )

XωG (− jω )
X
= j G (− jω )
− 2 jω
2

(1) = α 0 (s − jω2) + α 0 (s + jω )
2
*

s +ω

(1) = s(α 0 + α 0 ) + jω2(α 0 − α 0 )
2*

*

s +ω

(1) =

−j

X
[G ( jω ) − G(− jω )]s + X ω[G ( jω ) + G(− jω )]
2
2
2
2
s +ω

Escribiendo se tiene:

G ( jω ) = G ( jω ) e jφ (ω )

φ (ω ) ≡ ∠G ( jω )
Resulta:

(1) =

− jX H ( jω ) s

(1) =

e jφ (ω ) − e − jφ (ω )
e jφ (ω ) + e − jφ (ω )
+ jX H ( jω )ω
2
2
s2 + ω 2

X G ( jω ) [senφ (ω )s + ω cos φ (ω )]
s2 + ω 2
⎡

⎤
s
ω
senφ (ω ) + 2
cosφ (ω )⎥
2
2
s +ω
⎢s +ω
⎥
⎣
⎦

(1) = X G( jω ) ⎢

2

Tomando la Transformada Inversa de Laplace resulta:
n

y (t ) = ∑ α i e pit + X G ( jω ) [cos(ωt )senφ (ω ) + sen(ωt ) cos φ (ω )]
i =1

n

y (t ) = ∑ α i e pit + X G ( jω ) sen(ωt + φ (ω ))
i =1

Asumiendo que el sistema es BIBO1 estable, entonces se cumple:

p1 , p2 , p3 K , pn < 0
1

Un sistema se dice estable siante una señal de entrada acotada da una señal de salida
acotada. En ingles se dice que el sistema es BIBO.

Francisco M. González-Longatt, Septiembre 2007

Teoría de Control

3

Y el término de respuesta transitoria:
t →∞

i =1

Es decir, que cuando el tiempo tiende a infinito (t→∞), el sistema alcanza un régimen permanente
senoidal (RPS) de la forma:

y RPS (t ) = X G ( jω )...