teoria15

Tema III. Cap´ıtulo 4. Producto vectorial y producto mixto.

´
Algebra.
Departamento de M´etodos Matem´
aticos y de Representaci´
on. UDC.

4. Producto vectorial y producto mixto.

y
|MBB | > 0.
Por tanto:

En este cap´ıtulo trabajaremos en un espacio eucl´ıdeo U de dimensi´
on
3.

1
1.1

e¯1
|GB | x1
y1

Producto vectorial.

e¯2
x2
y2

e¯3
x3
y3

|MBB GB MBB t ||MB

=

|GB ||MBB

Definici´
on.=

Definici´
on 1.1 Sea x
¯, y¯ dos vectores en U y supongamos que fijamos una base de
referencia B = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }. Definimos el producto vectorial de x
¯, y¯ como el vector
x
¯ ∧ y¯ verificando:

|GB

Comprobemos que dicha f´
ormula cumple la definici´
on de producto vectorial. Sea:
e¯1
|GB | x1
y1

2. Si x
¯, y¯ son independientes, verifica:
z¯ =

(a) x
¯ ∧ y¯ es perpendicular a x
¯ e y¯.x
¯ ∧ y¯ = x
¯

y¯ |sen(¯
x, y¯)|.

La definici´
on es coherente porque dados dos vectores independientes x
¯, y¯ en un
espacio eucl´ıdeo 3-dimensional, el espacio de vectores perpendiculares a ambos tiene
dimensi´
on 1. Por tanto hay un u
´nico vector en este subespacio si fijamos su norma
y su sentido.

B = {¯
u1 , u
¯2 , u
¯3 }

GB =

Supongamos que fijamos una base B = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }.Consideramos su base rec´ıproca
B ∗ = {¯
e1 , e¯2 , e¯3 }. Entonces:

Y:
z¯ =

Teorema 1.2 Si conocemos las coordenadas contravariantes de x
¯, y¯, las coordenadas
covariantes del producto vectorial se obtienen como:
e¯
|GB | x1
y1

x
¯ ∧ y¯ =

2

e¯
x2
y2

e¯
x3
y3

Prueba: Veamos primero que esta f´
ormula se comporta bien con el cambio de
base. Si B es otra base con la misma orientaci´
on que B setiene:
B;

(y) = (y )MB

B;

(e) = (e )MB

B;

donde u
¯1 = x
¯,

u
¯2 = y¯,

u
¯1
|GB | 1
0

u
¯2
0
1

x
¯ 2
x
¯ · y¯
0

x
¯ · y¯
y¯ 2
0

u
¯3
0 =
0

0
0
1

|GB |¯
u3 =

|GB |¯
u3 .

Con lo cual vemos que z¯ es perpendicular a x
¯, y¯. Adem´
as la base {¯
x, y¯, z¯} tiene
la misma orientaci´
on que B y a su vez que B . Por tanto u
´nicamente nos queda
comprobar que la norma de z¯ es la correcta.Pero teniendo en cuenta que u
¯3 es
unitario:

3

z¯

(x) = (x )MB

e¯3
x3 .
y3

y donde u
¯3 es un vector ortogonal a x
¯, y¯ unitario, y cuyo sentido est´
a escogido de
manera que la orientaci´
on de la base B coincida con la del base B. Entonces:

Expresi´
on anal´ıtica.

1

e¯2
x2
y2

Est´
a claro que si x
¯, y¯ son dependientes el resultado obtenido es ¯
0. En otro caso
escogemos lasiguiente base

(c) La base {¯
x, y¯, x
¯ ∧ y¯} tiene la misma orientaci´
on que B.

1.2

e¯ 1
| x1
y1

Como consecuencia de esto, es suficiente verificar la f´
ormula en una base cualquiera.

1. Si x
¯, y¯ son dependientes, entonces x
¯ ∧ y¯ = ¯
0.

(b)

e¯ 1 e¯ 2 e¯ 3
1
x
x2 x3 =
|
B
1
y
y2 y3
e¯ 1 e¯ 2 e¯ 3
||MB B | x 1 x 2 x 3 =
y1 y2 y3
e¯ 2 e¯ 3
x2 x3 .
y2 y3

=

2

= |GB | = x
¯
= x
¯

GB = MBB GBMBB t ;

75

2

2

y¯

2

− (¯
x · y¯)2 = x
¯

y¯ 2 (1 − Cos(¯
x, y¯)2 ) = x
¯

2

2

y¯

2

− x
¯

2

y¯ 2 Sin(¯
x, y¯)2 .

y¯ 2 Cos(¯
x, y¯)2 =

Tema III. Cap´ıtulo 4. Producto vectorial y producto mixto.

´
Algebra.
Departamento de M´etodos Matem´
aticos y de Representaci´
on. UDC.

Teorema 1.3 Si conocemos las coordenadas covariantes de x
¯, y¯, las coordenadas
contravariantes del productovectorial se obtienen como:

2

x
¯ ∧ y¯ =

e¯1
1
x1
|GB | y1

e¯2
x2
y2

Producto mixto

Definici´
on 2.1 Definimos el producto mixto de tres vectores x
¯, y¯, z¯ de un espacio
eucl´ıdeo 3-dimensional como:

e¯3
x3
y3

[¯
x, y¯, z¯] = (¯
x ∧ y¯) · z¯.
Como consecuencia de la expresi´
on anal´ıtica vista para el producto vectorial se
tiene la siguinte expresi´
on para el producto mixto:

Prueba: Secomprueba de manera an´
aloga a la f´
ormula anterior.

Teorema 2.2 Sean x
¯, y¯, y¯ son tres vectores de U y B una base. Se verifica:

1.3

Propiedades.
[¯
x, y¯, z¯] =

Teniendo en cuenta la expresi´
on anal´ıtica del producto vectorial, es f´
acil deducir las
siguientes propiedades:

x1
|GB | y 1
z1

x2
y2
z2

x3
y3
z3

[¯
x, y¯, z¯] =

x1
y1
|GB | z1
1

x2
y2
z2

x3
y3
z3

El producto mixto...