Terminos de Lógica

3.- Análisis vectorial.
§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar
(63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación
de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo
escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74);
§3.9.Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77);
§3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)

§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que
haga corresponder a cada punto del espacio el valor
de una cierta magnitud física (función unívoca de
punto); decimos, entonces, que ese espacio, como
soporte de dichamagnitud física, es un campo; así,
hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, de
presiones, de temperaturas, ...
De acuerdo con el carácter de la magnitud
física que define al campo distinguiremos dos tipos
de campos:
Campo escalar: Toda función que haga corresFigura 3.1
ponder a cada punto del espacio el valor de una
magnitud escalar define un campo escalar (Figura 3.1). Como ejemplos decampos escalares tenemos
los campos de temperatura, de presión, de densidad
...
Campo vectorial: Toda función que haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una
magnitud vectorial, esto es, un vector, define un
campo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos de
campos vectoriales tenemos el campo gravitatorio
(g), el eléctrico (E), el magnético (B), el de velocidades en unacorriente fluida (v) ....
En general, el valor de la magnitud física que
Figura 3.2
define al campo (escalar o vectorial) será función

Manuel R. Ortega Girón

61

62

Lec. 3.- Análisis vectorial.

tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para los
campos escalares y vectoriales anteriormente definidos
φ (r,t)

y

A(r,t)

[3.1]

y

A(x,y,z,t)

[3.2]o bien, en coordenadas cartesianas,
φ (x,y,z,t)

Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ(x,y,z) ó A(x,y,z),
diremos que se trata de un campo estacionario; esto es, independiente del tiempo. Si,
por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en un
instante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos que
se tratade un campo uniforme y escribiremos φ(t) ó A(t).
Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que,
si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata de
algunas de las características del campo.
En el caso de un campo escalar,
representado analíticamente por la
magnitud escalar φ, función continua
en todo el espacio (salvo,eventualmente en algunos puntos, líneas o superficies aisladas), se define la superficie
equiescalar como el lugar geométrico
de los puntos del espacio en los que la
Figura 3.3
función φ toma un determinado valor.
Obsérvese que si en lugar de considerar
un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2
dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas.
Esconveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalares correspondientes
a valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que
φ2

φ 1 Δφ ;

φ3

φ 2 Δφ ; ...

[3.3]

En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto
campo escalar bidimensional. En las regiones donde las líneas (o superficies) equiescalares están más apretadas lavariación del
escalar φ por unidad de desplazamiento (el
gradiente) es más acusada. En algunos
campos, como es el caso del representado en
la Figura 3.3, pueden existir más de una línea
o superficie equiescalares correspondientes a
un mismo valor del escalar; pero las líneas o
superficies equiescalares correspondientes a
distintos valores de la magnitud escalar φ
en ningún caso pueden...