Terorema hp

TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON

Teorema 2. Teorema de cayley-hamilton(. Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(() = 0 es la ecuación característica deA, entonces p(A) = 0.

Demostración. Se tiene

a11 - ( a12 . . . a1n
P(() = det (A - ( I) = a21 a22 - ( . . .a2n
: : :
an1 an2 . . . anm - (

Es claro que cualquiercofactor de (A - ( I) en un polinomio en (. Así, la adjunta de A - ( I es una matriz de n * n en la que cada componente es un polinomio en (. Es decir,

p11(()p12(() . . . p1n(()
Adj (A - ( I) = p21(() p22(() . . . p2n(()
: : :pn1(() pn2(() . . . pnm(()

Esto significa que se puede pensar en adj (A - ( I) como en un polinomio, Q((), en ( cuyos coeficientes son matrices de n * n. Para entender esto, se ve losiguiente:

En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0. Para ilustrar esto, si p(() = (n+ an-1(n-1 + ... + a1( + a0, entonces

P(A) = An + an-1An-1 + ... + a1A + a0I = 0
y
A-1p(A) = An-1 + an-1An-2 + ... + a2A + a1I + a0A-1 = 0

Así

Observe que a0 ( 0 porque a0 = det A y sesupuso que A era invertible.

Ejemplo . Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A-1. Sea

1 -1 4
A = 3 2 -1 Entonces p(() = (3 –2(2 – 5( +6.
2 1 -1

Aquí n = 3, a2 = -2, a1 = -5, a0 = 6 y

A-1 = ( (-A2 + 2A + 5I)

-6 -1 -1 2 -2 8 5 0 0
= ( -7...