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Números reales y sus propiedades.

(Notas redactadas por A. DIEGO y M. I. PLATZECK para el curso de Matemática General)

Los números naturales 1, 2, 3, ... , han sido creados por el hombre para contar los objetos de conjuntos finitos, el número natural n es una medida de la cantidad de objetos de un conjunto. Pero es necesario medir o comparar también longitudes, áreas, volúmenes, pesos,cantidades de calor, de electricidad, etc.. Para este tipo de cantidades sabemos decidir cuándo dos de ellas son equivalentes o iguales, mediante experiencias apropiadas. (Dos varillas que se pueden hacer coincidir son iguales en longitud, dos cuerpos que equilibran una balanza de platillos son iguales en peso, etc.). Se sabe además sumar dos cantidades de una misma especie y subdividir una cantidaddada en n partes iguales.

De ahora en adelante, consideraremos el problema de medir cantidades en el caso de longitudes. El problema de precisar la noción de medida o longitud de un segmento se presentó tempranamente a los geómetras griegos hace unos 25 siglos.

Dado un segmento OU que se considerará como unidad de medida y otro segmento PQ, puede ocurrir que PQ se pueda partir en n segmentosiguales a OU; en este caso n es la medida o longitud del segmento PQ (con respecto a la unidad OU ).

P Q

O U

Naturalmente, la circunstancia anterior es casual. En general, OU no “cabrá un número exacto de veces” en PQ.
Subdividamos ahora la unidad OU en m partes iguales. Se dice que cada una de estas partes
1
(submúltiplos de OU) tiene longitud igual a m . Si se tiene un segmento PQque puede

1 n dividirse en exactamente n partes iguales de longitud m , se dice que la longitud de PQ es m .

7 En el ejemplo de la siguiente figura, la longitud de PQ (con respecto a la unidad OU ) es 5 .

O U P

En la figura siguiente, el segmento AC es el segmento suma de los segmentos AB y BC.

A B C


OBSERVACIONES:

1) Es claro que si se subdivide la unidad OU en m partesiguales y luego cada una de ellas

en p partes iguales, la unidad
OU
quedó subdividida en
m ⋅ p partes, de modo que la

medida de cada una de ellas es
1

. Necesitaremos entonces
p segmentos consecutivos de


m ⋅ p









esa medida para obtener uno de los segmentos resultantes de la primera subdivisión, es decir que:
m1 = mp⋅p .



1

2) Una consecuencia importantede la observación anterior es que mr = mr⋅⋅pp

ya que ella nos dice que si la medida de un segmento es mr respecto de la unidad OU, es

decir que el mismo puede dividirse en r partes iguales de longitud
1
, es claro que también


m







1








podrá dividirse en r ⋅ p partes iguales de longitud


.







m ⋅ p




















3)Otra consecuencia inmediata es que si en la figura siguiente, la medida de AB es
p
y la


m



q


p + q









de BC es

entonces la medida de AC es

.






















m
m












A


B
C




































Como resultado de las observaciones anteriores es fácilverificar que, si respecto de la unidad


OU, la medida de AB es

Esto es:


m
y la de BC es

r
, entonces la de AC es

n


s




m
+
r
=
m ⋅s
+
r ⋅n
=
m ⋅s + r ⋅n
.
















n s

n ⋅s n ⋅s

n ⋅s


m ⋅s + r ⋅n . n ⋅s

Por otro lado, puede también verificarse que si la medida de un segmento CD con relación a
r m
la unidad AB es s yla medida de AB en relación con la unidad OU es n , la medida de CD

en relación a OU es
r ⋅m
, (esto es

r
⋅
m
=
r ⋅m
). Por ejemplo, las
4
partes de un segmento












5



s ⋅n


s

n





















s ⋅n



que mide
2
tiene longitud
4
⋅
2
=

8
.








3

5

3

15








Históricamente,...