TN 28 marzo

Academia Sabatina Jóvenes Talentos
Encuentro #1
Curso: Teoría de Números.
Grupo: Tercer nivel.
Fecha: 28 de marzo del 2015.
Instructores: Rolando Vega y René Martínez.

Introducción:
1La

Teoría de Números o Aritmética es la rama de la matemática que
estudia todo lo relacionado con los números, en particular los enteros, así como
diversos problemas derivados de su estudio. El hecho de que estosnúmeros se
estudien desde los primeros años de la enseñanza escolar podría hacer pensar
que se trata de un tema elemental y sin misterios. Pero no es así, por el contrario,
la Aritmética encierra algunos de los problemas más difíciles de la matemática,
algunos de los cuales permanecen o han permanecido sin resolver durante siglos.
En la teoría de números avanzada se utilizan toda clase deherramientas
matemáticas, como por ejemplo la teoría de funciones de variable compleja. Sin
embargo, aun limitándonos a las nociones más básicas y elementales, es posible
generar una gama inagotable de problemas de todos los grados de dificultad
posibles. Esta es la razón por la cual la Teoría de Números es uno de los temas
infaltables y favoritos en todas las olimpiadas matemáticas.

Principio de buenaordenación:
2Todo

conjunto no vacío de números naturales posee un elemento mínimo, es
decir, dado 𝑆 ⊆ ℕ no vacío, existe un elemento m en 𝑆 talque 𝑚 ≤ 𝑛 para toda 𝑛 ∈
𝑆.
Propiedades:
(1) Todos los números naturales son mayores o iguales que 1. Es decir, 𝑚𝑖𝑛ℕ = 1.
(2) Dados 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, se tiene que 𝑚 > 𝑛 si y solo si existe 𝑝 ∈ ℕ tal que 𝑚 = 𝑛 + 𝑝,
lo que abreviamos poniendo 〈〈𝑚 − 𝑛 ∈ ℕ〉〉.

1. a) ¿Quées la teoría de números? b) ¿Cuál es la razón por la cual la teoría de
números es una de las materias favoritas en las olimpiadas de matemáticas?
2. Explique el principio del buen orden.

(3) Dados 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, no puede verificarse 𝑛 < 𝑚 < 𝑛 + 1. En palabras, entre dos
números naturales consecutivos no hay ningún número natural.
– Ejemplos:
a) Probar que no puede haber un número entero entre 0 y 1.Solución: Asumimos lo contrario, que si existe un conjunto ℘ no
vacío de números enteros en el intervalo]0; 1[. Siendo un conjunto de
enteros positivos, este contiene un elemento menor, digamos m. Ahora
según lo anterior se tendría que 0 < 𝑚2 < 𝑚 < 1, pero claramente 𝑚2 ∈ ℘
luego m no sería el mínimo lo que es una contradicción y por tanto ℘ = ∅
b) Determinar si ℚ+ = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 > 0} está bienordenado.
Solución: Pues bien, ℚ+ no está bien ordenado; En efecto, si lo
estuviese entonces existiría 𝑞 ∈ ℚ+ talque q es el mínimo de ℚ+ , pero 0 <
𝑞
𝑞
< 𝑞 y 2 ∈ ℚ+ , luego q no sería el mínimo y de la contradicción se sigue
2
que ℚ+ no está bien ordenado.

Principio de inducción:
3Para

cada número natural n sea 𝑃𝑛 una proposición que puede ser cierta o
falsa, de tal manera que:




𝑃1 es ciertay
Para cada 𝑛 ∈ ℕ, suponiendo que 𝑃𝑛 también es cierta (hipótesis de
inducción)
A partir de la hipótesis de inducción, se puede demostrar que 𝑃𝑛+1 es cierta.

Entonces se cumple que: 𝑃𝑛 es cierta para todo 𝑛 ∈ ℕ.
–
4Demostrar

Ejemplo:

que, para cualquier numero natural n, 22𝑛 + 15𝑛 − 1 es divisible por 9.

Solución: Para cada número natural n, tomamos
𝑃𝑛 ∷

22𝑛 + 15𝑛 − 1 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 9

3.Explique el principio de inducción.
4. Identifique la hipótesis de inducción

Para n=1: 22 + 15 − 1 = 18 = 9 ∙ 2 (𝑃𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎)
Dado un numero natural n arbitrario, supongamos cierta la propiedad para n, de
modo que exista un 𝑘 ∈ ℕ tal que 22𝑛 + 15𝑛 − 1 = 9𝑘.
Pasando a n+1: 22(𝑛+) + 15(𝑛 + 1) − 1 = 4 ∙ 22𝑛 + 15𝑛 + 14 = 4(9𝑘 − 15𝑛 + 1) + 15𝑛 +
14 = 9(4𝑘 − 5𝑛 + 2)

Es decir 𝑃𝑛+1 también es cierta, loque nos permite concluir que 𝑃𝑛 es verdadero
para todo 𝑛 ∈ ℕ.

Principio de inducción fuerte:
5A

veces, la ayuda que proporciona suponer cierta 𝑃𝑛 para demostrar
𝑃𝑛+1 ; es insuficiente y se necesita modificar el principio de inducción para usar
como hipótesis de inducción que son ciertas todas las proposiciones 𝑃1 , … , 𝑃𝑛 , y
deducir de ellas 𝑃𝑛+1 , a partir de estas. Este resultado se...