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ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.

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ECUACIÓN DE LA RECTA Sistema de referencia. Es el conjunto formado por: • Un punto O del plano llamado origen. • Una base B ={i, j } para los vectores. Cuando la base es ortonormal se tiene el sistema de referencia habitual y que utilizaremos a partir de ahora.

j i O

Vector de posición. Dado un punto P, delplano llamaremos vector de posición de dicho punto al vector que se obtiene uniendo dicho punto con el origen.

P

O

Coordenadas del vector que une dos puntos.

B(x2, y2) A(x1, y1)

O

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OA + AB = OB y de aquí resulta que AB = OB − OA Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B son (x2, y2) resulta:AB = ( x 2 , y 2 ) − ( x1 , y1 ) = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 ) es decir, las coordenadas del vector que une los puntos A y B se obtienen restando a las coordenadas de B las de A.

Punto medio de un segmento.
P

A M

B

O

Sea el segmento AB cuyo punto medio es M Si sumamos los vectores OA y OB por la regla del paralelogramo obtenemos que OP = OA + OB y multiplicando por ½ la igualdadresulta: 1 1 OP = OM = .(OA + OB ) 2 2 Y si las coordenadas de los puntos son: A(x0, y0), B(x1, y1) y M(xm, ym) obtenemos: 1  x + x1 y 0 + y1  ( x m , y m ) = (( x o , y o ) + ( x1 , y1 ) ) =  0 ,  , es decir, las coordenadas del 2 2   2 punto medio de un segmento se obtienen haciendo la semisuma de los puntos extremos del segmento.

Ecuación vectorial de la recta. Una recta queda determinadacuando se conoce un punto y un vector director de la misma. Vector director es aquel que tiene la misma dirección que la recta.

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Sea el siguiente sistema de referencia, también llamado sistema de coordenadas cartesianas:
P

v A

O

Conocemos el punto A y el vector director v. El punto P es un puntocualquiera de la recta. Utilizando los vectores de posición de los puntos dados, resulta: OP = OA + AP Además existe un número real λ tal que AP = λ.v Por tanto,

OP = OA + λ.v

La ecuación obtenida OP = OA + λ.v recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta dada. Se llama vectorial porque la conocemos a través de los vectores de posición de cada uno de sus puntos. Si las coordenadas de cada unode los vectores son: OP = ( x, y ) ; OA = ( x 0 , y 0 ) y v = (v1 , v 2 ) se obtiene ( x, y ) = ( x0 , y 0 ) + λ (v1 , v 2 )

que es la ecuación vectorial de la recta expresada en coordenadas. Para cada valor que le demos a λ se obtiene un punto de la recta y si le dados todos los valores de los números reales se obtienen todos los puntos.

Ecuaciónes paramétricas Se obtienen a partir de laecuación vectorial expresando por separado cada variable: x = x 0 + λ.v1 y = y 0 + λ.v 2

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Ecuación continua. Se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas eliminando λ en el sistema: x = x 0 + λ.v1 y = y 0 + λ.v 2 En la primera ecuación, λ = Y en la segunda, λ =
x − x0 v1

y − y0 v2 Igualando los valoresde λ se obtiene la ecuación continua: x − x0 y − y 0 = v1 v2

Ejemplo 1: La ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, - 1) y tiene como vector director a v = i – 4j, será: El vector v lo expresamos como v = (1, -4) y entonces,
( x, y ) = (2,−1) + λ (1,−4) (Forma vectorial)

x = 2 + λ (En paramétricas)   y = −1 − 4λ
x − 2 y +1 = (Forma continua) 1 −4

Ecuación general o implícita Seobtiene a partir de la ecuación continua operando y simplificando hasta llegar a la forma Ax + By + C = 0 Puesta la ecuación de una recta en forma general, el vector v = (- B, A) es un vector director de la misma, en efecto,

x − x0 y − y 0 = . Si quitamos denominadores, v2 (x – x0) = v1(y – y0) v1 v2
Y eliminado paréntesis y ordenando en forma adecuada resulta:

v 2 x − v1 y − v 2 x 0 +...