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Funciones vectoriales
En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.
R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j
Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones
X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b
Una función vectorial se expresa como:
R(t) = <f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k
Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)
Ejercicios:
1 Trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
R(t)= 2 cos ti + 2 sen tj +tk t" o
Las ecuaciones parametricas de la curva son x = 2 cos t
Y = 2 sen t . eliminando el parámetro t de las 2 primeras ecuaciones,
Se ve que lospuntos de la curva están situados en el cilindro circular
X2 + y2 = 4
z
cilindro x2+ y2 = 4
x
y
2.- trazar la grafica correspondiente a la función vectorial
r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k
los puntos de la curva están situados en el cilindro x2 + y2 = 4
el valor constante z = 3 hace que la curva este situada 3 unidades arriaba del plano xy z
x2 + y2 = 4
z = 3
y
x
obtengo lafunción vectorial que describe la curva c de intersección del plano y = 2 x y el paraboloide z = 9 - x2 -y2
si hacemos x = t, entonces y = 2t, y de esta manera z = 9 - t2 - 4 t2 = 9 -5t2
z
X
Y
Calculo de funciones vectoriales
Limites y continuidad
La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos de los limites de las funciones componentes
Lim r(t) = limf(t), lim g(t), lim h(t)
t a t a t a
TEOREMA
Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces
 Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar
t a
(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2
t a
 lim r1 . rt2 = L1 . L2
t a
Derivadas de funciones vectoriales
La derivada de una función vectorial r es
r'(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]
TEOREMA
Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en dondef,g,h son diferenciables, entonces
r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>
Interpretación geométrica de r'(t)
Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en p.
r = r(t + t) - r(t)
r/ t = 1/t [r (t + t)-r(t)
Ejercicios:
1.-Trazar la curva C que es descrita por un punto P cuya posición está dada por r(t) = cos 2 ti + sen tj, o" t " 2". Trace r'(0) y r'("/6)Eliminando el parámetro de las ecuaciones parametricas x = cos 2t
Y =2 sen t 0" t " 2" encontramos que C es la parábola x = 1-2y2
-1" x" 1
r'(t) = -2 sen 2 ti + cos tj
r´(0) = j y r'(" /6) = -"3i + " /2 J
r'(" /6) y
r'(0)
x
(1,0)
2.- obtener ecuaciones de parametricas de la recta tangente de la curva C cuyas ecuaciones son parametricas son
x = t2 y = t2 - t z = -7 t
en t =3
lafunción vectorial que indica posición de un punto p de la curva es
r(t) = r2 i + (t2 -t )j - 7 tk
r't = 2 ti + (2t -1)j -7k
r'(3) = 6i + 5j -7k.
Que es tangente a C en el punto cuyo vector de posición es
r'(3)= 9i +6j -21k
esto es, p(9,6,-21). Empleando las componentes de r'(3), vemos que
x =9 + 6t y =6 +5t z = -21 -7t
son ecuaciones parametricas de la recta tangente.
Derivadas deorden
Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'' = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k.
Ejemplo:
r(t) = (t3 - 2t2 )i + 4tj + e-tk ,
r'(t) = (3t2 -4t)i + 4j - e-tk
r''(t) = ( 6t -4)i + e-tk
regla de cadena
si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una funciónescalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es
dr/dt = dr/ds ds/dt = r'(s) u' (t)
Ejemplo:
Si r(s) = cos 2si + sen 2sj + e-3sk, en donde s = t4 , entonces
dr/dt = [ -2 sen 2si + 2 cos 2sj - 3e-3sk]4t3
integrales de funciones vectoriales
si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen...