topologia

HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

David Garro Moreno
Historia de las matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid

Introducción:
La topología es la rama de las matemáticas que se ocupa de los objetos geométricos
atendiendo a la forma, tamaño o posición, en general a sus propiedades cualitativas. No
tiene en cuenta aspectos relativos a magnitudes ni requiere cálculos con cantidades. Así,
desde elpunto de vista topológico, una esfera, un cubo o la superficie de una naranja
representan el mismo objeto geométrico, no importa si tiene picos o está arrugado. Es
decir, podemos pasar de uno a otro de forma continua. Se dice entonces que son
espacios homeomorfos, o que existe un homeomorfismo entre ellos. Es popular el
dicho de que un topólogo no distingue entre un donut y una taza de café.Como si de
objetos de goma elástica se tratase, podemos doblarlos, estirarlos o encogerlos para
pasar de uno a otro. En cambio, no se permite por ejemplo cortar, pegar por puntos
distintos o pinchar, porque ello provocaría una discontinuidad.

En fin, la Topología nos proporciona métodos y herramientas que nos permiten
distinguir entre espacios no homeomorfos, se dedica al estudio deaquellas propiedades
que se conservan a través de homeomorfismos.
A través de la historia, la topología ha resultado ser de gran importancia mostrándose
fundamental para la cimentación del análisis moderno, sus ideas se han mostrado de
gran interés para los campos de la ciencia como física, cosmología, relatividad...
Podemos situar el comienzo de la topología en 1735 de la mano de Leonhard Euler yla
solución al problema de los puentes de Koenigsberg, que aunque ciertamente parecía
pertenecer al geometría, sin embargo no requería la determinación de magnitud alguna,
ni podía resolverse por un calculo cuantitativo, aunque en palabras de Euler:
“Leibniz fue el primero en tratar de ella, llamándola geometría de la posición”

Vinculada por tanto a la geometría en sus inicios y desarrolladaen una incipiente
ebullición de artículos, libros y conferencias, muchos han sido los matemáticos
sobresalientes que aportaron resultados cruciales en diversos campos de las
matemáticas, dichos resultados proporcionaron el ámbito adecuado para la descripción
de las matemáticas en un marco formal y aceptado por toda la comunidad matemática.

La necesidad de exponer con rigor conceptosfundamentales del análisis tales como
función, continuidad, diferenciabilidad, hacían notar el caos en el que se encontraban las
matemáticas a finales del siglo XVIII. Las nuevas geometrías no euclídeas y la
construcción de nuevos objetos geométricos muy particulares tales como la banda de
Möbius (1858) o la botella de Klein (1863), ofrecían ejemplos de propiedades
geométricas desconocidas hastaentonces y que distinguían los objetos entre sí. Este es
el punto de partida del trabajo de clasificación de objetos geométricos atendiendo a
ciertas propiedades cualitativas como conexión, compacidad, separabilidad, orientación,
etc.....

La teoría más importante de finales del siglo XIX vino de la mano del matemático ruso
Georg Cantor (1845-1918). En ella se encontraban las nociones básicasde la teoría de
conjuntos. Introdujo conceptos como cardinal, transformación 1-1, punto límite,
conjunto abierto, cerrado, derivado....Estos conceptos permitieron situar las matemáticas
en el marco adecuado que ofrecían demostraciones rigurosas y nuevas definiciones
aceptadas por la mayoría de la comunidad matemática.
Ya en las postrimerías del siglo xx, matemáticos como Hilbert, Banach oHaussdördf se
apoyaron en las ideas de Cantor para construir nuevos ejemplos de espacios diferentes
tales como espacios métricos,completos,normados,espacios de funciones...que
permitieron una teoría mucho mas general, proponiendo un sistema axiomático del
análisis en términos de conjuntos y no en términos de distancias, métricas o de algún
tipo de cantidad o magnitud. De esta manera surgió la...