topologia

1. Demostrar que la coleccion de todos los circulos en el plano forman una base para el plano.

Demostracion:
Sean y∈ R2 y r>0, consideremos
C(x, r) = {z ∈ R2 : d(z, y) < r} como una regioncircular centrada y∈ R2 y radio r > 0.
Ahora definamos B por:
B = {C(y, r) : y ∈ R2 ∧ r > 0} como la coleccion de todas las regiones circulares del plano.
Notar que los elementos basicos de B son loscirculos de la forma C(y, r) con y∈ R2 y r > 0.
Ahora veamos que B es una base para el plano.
(i) sea x un punto cualquiera del plano, luego si x=y y r = 1, entonces
C(x, 1) ∈ B y claramente x ∈ C(x,1), pues d(x, x) = 0 < 1.
Asi se verifica la primera condicion de una base.
(ii) Sean C(y1 , r1 ), C(y2 , r2 ) ∈ B elementos basicos y sea x ∈ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 ), queremos
demostrar queexiste C(z, r)∈ B talque x ∈ C(z, r) y C(z, r) ⊆ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 )
como x ∈ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 ), entonces x ∈ C(y1 , r1 ) y x ∈ C(y2 , r2 ),
es decir,d(y1 , x) < r1 y d(y2 , x) < r2 .Ahora definamos r=min{r1 − d(y1 , x), r2 − d(y2 , x)} el cual es finito.
Notese que C(x, r) ∈ B y x ∈ C(x, r) y por ultimo veamos que C(x, r) ⊆ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 ).
En efecto:
Sea y ∈ C(x, r),entonces d(y, x) < r; como r=min{r1 − d(y1 , x), r2 − d(y2 , x)} se tiene que
r ≤ r1 − d(y1 , x) y r ≤ r2 − d(y2 , x) por lo cual, d(x, y) < r1 − d(y1 , x) y d(x, y) < r2 − d(y2 , x)
Asi, d(x, y) + d(y1, x) < r1 y d(x, y) + d(y2 , x) < r2 , luego d(y, y1 ) < r1 y d(y, y2 ) < r2
por lo tanto y ∈ C(y1 , r1 ) y y ∈ C(y2 , r2 ), es decir, y ∈ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 )
luego existe C(x, r) ∈ B talquex ∈ C(x, r) y C(x, r) ⊆ C(y1 , r1 ) ∩ C(y2 , r2 ).
Por (i) y (ii) se concluye que B es una base para el plano.

2) Demostrar que la coleccion de todos los intervalos abiertos de la recta son unabase para la recta.
Demostracion:
Sea (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} con a 0.
Tenemos que (x − ε, x + ε) ∈ B y x ∈ (x − ε, x + ε).
(ii) Sean (a, b), (c, d) ∈ B con a, b, c, d ∈ R y a < b, c < d y...