Topologia

EXAMEN DE TOPOLOGIA 1. Sea C([0, 1]) el conjunto de todas las funciones reales continuas definidas sobre [0, 1]. Demostrar que la función d : C([0, 1])×C([0, 1]) → R definida por ∫
1

d(f, g) =
0|f (x) − g(x)|dx,

es una métrica. Bosquejar geométricamente una bola abierta con centro en f0 ∈ C([0, 1]) 2. En Sea τ la colección de subconjuntos A de Z+ que satisfacen la siguiente condición:Si n ∈ A entonces cada divisor de n pertenece a A (se consideran sólo los divisores positivos). Probar que τ es una topología en Z+ que no es la topología discreta. 3. Sea X un conjunto, p un elementofijo deX y τ = {A ⊂ X : p ∈ A} ∪ {∅}. Probar que la familia τ es una topología en X ¿Qué topología se tiene cuando X = {a, b} y p = a? 4. Sea X un conjunto, p un elemento fijo de X y τ = {X} ∪ {A ⊂ X : p∈ A}. / Probar que τ es una topología en X. 5. Sea X el intervalo cerrado [−1, 1] ⊂ R y τ = {A ⊂ X : 0 ∈ A} ∪ {A ⊂ X : (−1, 1) ⊂ A}. / Probar que (X, τ ) es un espacio topológico. 6. Sea (X, τ ) unespacio topológico y sea β una base para (X, τ ) a) Demostrar que si β ∗ es un conjunto de abiertos tales que β ⊂ β ∗ ⊂ τ , entonces β ∗ también es base de τ b) Demostrar que la topología generada por βes la topología en X más gruesa de todas las topologías que contienen a β 1

7. Para x ∈ R se define Bx = {x × y ∈ R2 : y ∈ R} a) Mostrar que la colección B = {Bx }x∈R es base para una topología τ enR2 b) Sean A = R × {0} y B = {0} × R. Describir las topologías de subespacio de A y B respecto a la topología τ de R2 (sugerencia: determinar las bases para los subespacios A y B). c) Hacer lo mismopara C = {x × y ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. d ) Sea E = {x × y ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, y ≤ 0}, Calcular la clausura de E en la topología de subespacio de C y en la topología τ de R2 8. Sean B = {Bx }x∈R dondeBx = {x × t : t ∈ R}. Por el ejercicio anterior B es una base para una topología τ de R2 . a) Considérese ahora la colección B′ = B ∪ {S} donde S = {t × 1 ∈ R2 : t ∈ R} ⊂ R2 . Demostrar que B ′...