Tp Con Mathematica 5.3

Ejercicio 1: Dada la curva intersección entre las superficies

a) S1: [pic] ( [pic]



S2: [pic] ( [pic]



La superficie S2 es un cilindro elíptico paralelo al eje z. Se pueden parametrizar las variables x e y respecto a una variable t. Así ( z: z ( (



x = 8 cos t; y = 2 sen t; 0 ≤ t ≤ 2(



Remplazando en la ecuación de S1

[pic]

[pic]Entonces las ecuaciones paramétricas para la curva C, determinada por la intersección de las superficies S1 y S2 son:

x = 8 cos t;

y = 2 sen t;

[pic]; 0 ≤ t ≤ 2(






Gráfico:

ParametricPlot3D[{8*Cos[t], 2*Sin[t], 16*(Cos[t])^2 - 16*Cos[t] + 4+(Sin[t])^2,

{RGBColor[0.113725, 0.0117647, 0.580392], Thickness[0.02]}},{t, 0, 2*Pi}, Axes -> True, AxesLabel -> {"Eje X", "Eje Y", "Eje Z"},

ViewPoint -> {1.3, -2.4, 2}];

[pic]

b) Como la curva C esta determinada por la intersección de las superficies S1 y S2, debe verificar cada una de estas superficies. Es decir C ( S1 y C ( S2.

Analíticamente:

C ( S1:



[pic]



[pic]



[pic]





C ( S2:

[pic]



[pic][pic]



[pic]





Gráficamente:

C con S1:

a=Plot3D[((x-4)^2+y^2)/4,{x,-8,16},{y,-12,12},
LightSources→{{{1.,0.,1.},RGBColor[0.882353,0.992157,0.917647]}},
BoxRatios→Automatic,PlotPoints→20,ViewPoint->{-6.958, 4.649, 3.313},
Axes→True,AxesLabel→{"Eje X","Eje Y","Eje Z"}];c=ParametricPlot3D[{8*Cos[t],2*Sin[t],16*(Cos[t])^2-16*Cos[t]+4+(Sin[t])^2,
{RGBColor[0.113725,0.0117647,0.580392],Thickness[0.02]}},{t,0,2*Pi},
Axes→True,AxesLabel→{"Eje X","Eje Y","Eje Z"},ViewPoint→{1.3,-2.4,2}];


Show[a,c]

[pic]

O escribiendo al paraboloide en forma paramétrica para graficarlo con ParamatricPlot3D

S1: [pic]

Haciendo

x - 4 = 2 u Cos[v]

y = 2 u Sen[v]

z = u2

entonces

x = 2 u Cos[v] + 4

y = 2 uSen[v] ( u ( (, y ( v ( (\ 0 ≤ v < 2(

z = u2



paraboloide=ParametricPlot3D[{2*u*Cos[v]+4,2*u*Sin[v],u^2},{u,0,7},{v,0,2*Pi},
ViewPoint->{-8.017, 2.398, 3.313}];


c=ParametricPlot3D[{8*Cos[t],2*Sin[t],16*(Cos[t])^2-16*Cos[t]+4+(Sin[t])^2,
{RGBColor[0.113725,0.0117647,0.580392],Thickness[0.02]}},
{t,0,2*Pi},Axes→True,AxesLabel→{"Eje X","Eje Y","EjeZ"},ViewPoint→{1.3,-2.4,2}];


Show[paraboloide,c];

[pic]







Otra vista

paraboloide=ParametricPlot3D[{2*u*Cos[v]+4,2*u*Sin[v],u^2},{u,0,7},{v,0,2*Pi},
ViewPoint->{-2.406, 3.367, -2.789}];


c=ParametricPlot3D[{8*Cos[t],2*Sin[t],16*(Cos[t])^2-16*Cos[t]+4+(Sin[t])^2,
{RGBColor[0.113725,0.0117647,0.580392],Thickness[0.02]}},{t,0,2*Pi},Axes→True,AxesLabel→{"Eje X","Eje Y","Eje Z"},ViewPoint→{1.3,-2.4,2}];


Show[paraboloide,c];

[pic]





C con S2:



{"Eje X","Eje Y","Eje Z"},ViewPoint->{1.3,-2.4,2}];
Show[a,c,BoxRatios→{1,0.5,2}];


[pic]

c) Representar, en un solo gráfico las dos superficies y la curva intersección.

0, entonces:
Solve[f?g,t]
[pic]
[pic]Luego
[pic]
1.10715

Entonces t = 1.10715 es el que corresponde a P(x,y,z) y:



Clear[t,x,y,z]

t=1.10715
x=8*Cos[t]
y=2*Sin[t]
z=16*(Cos[t])^2-16*Cos[t]+4+(Sin[t])^2
1.10715
3.5777
1.78886
0.844585

El punto es P (3.5777, 1.78886, 0.844585)

La ecuación vectorial de la curva C es:

[pic]

YClear[t]
r[t_]:={8*Cos[t], 2*Sin[t], 16*(Cos[t])^2 - 16*Cos[t] + 4+(Sin[t])^2}
dr=D[r[t],t]
t=1.10715
dr//N
{-8 Sin[t],2 Cos[t],16 Sin[t]-30 Cos[t] Sin[t]}
1.10715
{-7.15542,0.894425,2.31087}


La derivada de [pic] es:

[pic]

Y en t = 1.10715
[pic]

Vector que da la dirección de la recta tangente a C en el punto P (3.5777,...