TR_C2_EDO

Tema 1 – Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (E.D.O.)

1.1

Definiciones

Se llama ecuaci´
on diferencial a toda ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as
variables dependientes respecto a una o m´as variables independientes.
Se llama ecuaci´
on diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuaci´on diferencial en la que aparecen
derivadas ordinarias de una o m´as variablesdependientes respecto a una u
´ nica variable
independiente.
Se llama ecuaci´
on diferencial en derivadas parciales (E. D. P.) a una ecuaci´on diferencial
en la que aparecen derivadas parciales de una o m´as variables dependientes respecto a m´
as
de una variable independiente.
1

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1. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Muchas de las leyes generales de lanaturaleza encuentran su expresi´on m´as natural en el lenguaje
de las ecuaciones diferenciales. Tambi´en tienen m´ultiples aplicaciones en Geometr´ıa, Ingenier´ıa,
Econom´ıa y muchos otros campos de las Ciencias Aplicadas.
Se denomina orden de una ecuaci´on diferencial al orden de la derivada m´
as alta entre todas
las que figuran en dicha ecuaci´on.
d2 y
dy 3
x
Ejemplo 1 La ecuaci´on:
+
xy(
)
=
e
tieneorden 2.
dx2
dx
Una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal de orden n en la variable dependiente y y en la variable
on que puede expresarse de la forma:
independiente x es una ecuaci´
dn y
dn−1y
dy
a0(x) n + a1(x) n−1 + · · · + an−1(x) + an(x)y = b(x),
dx
dx
dx
donde a0(x) es una funci´on no id´
enticamente nula.

1.1 Definiciones

3

Ejemplo 2
1.

d3 y
3 3 +y =2
dx
es una E. D. O. lineal deorden 3 y coeficientes constantes.

2.

d2y
dy
2
+
5
+
(x
− 2)y = 22x
dx2
dx
es una E. D. O. lineal de orden 2 y coeficientes variables.

3.

d4 y
3
xe
=
25
x
dx4
x

es una E. D. O. lineal de orden 4 y coeficientes variables.
4.

(

d2 y
dx2

es una E. D. O. no lineal de orden 2.

)2
+ 5y

dy
=x
dx

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1. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Consideremos la E. D. O. deorden n:
dn y
dy d2y
F (x, y, , 2 , . . . , n ) = 0,
dx dx
dx
donde F es una funci´
on real de sus (n+2) argumentos.
Sea f una funci´on real definida para todo x en un intervalo real I que posea derivada n-´
esima
en todo I. La funci´on f es una soluci´
on expl´ıcita de la E. D. O. en el intervalo I si:
F (x, f (x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f ( (x))
n

est´a definida para todo x de I y verifica:
F(x, f (x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f ( (x)) = 0,
n

∀x ∈ I.

Es decir, la sustituci´
on de y por f en la E. D. O. reduce la ecuaci´on a una identidad en I.
Se dice que una relaci´on g(x, y) = 0 es una soluci´
on impl´ıcita de la E. D. O. en el intervalo I
si esta relaci´on define, al menos, una funci´
on real f de la variable x en I de manera que esta
funci´on sea una soluci´
on expl´ıcita de laE. D. O. en dicho intervalo I.

1.1 Definiciones

5

Ejemplo 3
1. La funci´on f definida en toda la recta real mediante:
f (x) = a sen(x) + b cos(x), a, b ∈ R
es una soluci´
on expl´ıcita de la E. D. O.

en todo R, pues: f ′′(x) + f (x) = 0,

d2 y
+y =0
dx2
∀x ∈ R.

2. La relaci´on:
x2 + y 2 − 25 = 0
es una soluci´
on impl´ıcita de la E. D. O.
dy
=0
dx
en el intervalo I = (−5, 5). En efecto, dicharelaci´on define dos funciones:
√
f1(x) = 25 − x2, ∀x ∈ I,
√
f2(x) = − 25 − x2, ∀x ∈ I,
x+y

que son soluciones expl´ıcitas de la E. D. O. en I.

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1. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Observaci´
on 1 La relaci´on:
x2 + y 2 + 25 = 0
tambi´en podr´ıa ser una soluci´on impl´ıcita de la E. D. O.
x+y

dy
= 0,
dx

pues si derivamos dicha relaci´on respecto a x seobtiene:
2x + 2y

dy
= 0,
dx

que es equivalente a la E. D. O.
Por tanto, esta relaci´on satisface formalmente la E. D. O. pero de aqu´ı no podemos deducir que sea
una soluci´
on impl´ıcita, ya que no define una soluci´on real expl´ıcita. (La funci´on:
√
f (x) = ± −25 − x2
toma valores complejos en toda la recta real).
En consecuencia, la relaci´on es meramente una soluci´
on formal.

1.2 Familias...