Trabajo 1
Páginas: 7 (1627 palabras)
Publicado: 25 de julio de 2011
INTRODUCCION
Las progresiones aritméticas y geométricas son de gran utilidad en especial en ramas cómo por ejemplo las matemáticas financieras, donde debemos realizar diversos cálculos de orden financiero (interés compuesto), para lo cual es fundamental realizar operaciones a través del uso de progresiones geométricas.
Para el caso de las sucesiones, son muy importantes para determinarel conjunto de valores que presenta determinada secuencia con ciertas características determinadas.
OBJETIVO
▪ Identificar los términos generales de una sucesión y progresión y la relación de recurrencia.
▪ Demostrar si una sucesión es convergente, acotada, estrictamente creciente o decreciente.
▪ Conocer como se hallan las cotas superior e inferior de una sucesión.▪ Diferenciar entre una progresión aritmética y progresión geométrica mediante el desarrollo de ejercicios para cada caso.
ACTIVIDADES A REALIZAR
FASE 1
1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:
2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de
Recurrencia.
FASE 2
6. Hallar la cota superior e inferior, determinar si es acotada:FASE 3
APORTES SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS
1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:
a).
[pic]
b).
[pic]
c).
[pic]
2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.
a. [pic]; [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]El término general es [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
b. [pic]; [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
El término general es[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3. Demostrar que [pic] es estrictamente creciente.
Para probar que esestrictamente creciente se encontrará la cota inferior
[pic]
Y Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la sucesión es estrictamente creciente, ya que la cota inferior es menor que la cota superior.
4. Demostrar que [pic] es estrictamente decreciente.
Para probar que es estrictamente decreciente se evaluará la cota inferior y luego se verificara si su cota superior es menor.Esto se puede realizar dato que la sucesión no es oscilante.
Para la cota inferior:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, se demuestra que la secesión es estrictamente decreciente.
5. Hallar la mínima cota superior de la sucesión:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la cota superior es 2.
6. Hallar la cota superior e inferior, determinar sies acotada:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la cota superior es 2.
Hallamos la cota inferior:
[pic]
Luego, la cota inferior es 1.
Teniendo en cuenta que la cota inferior es 1 y la cota superior es 2, se puede afirmar que Vn esta acotada en el intervalo [1,2]
7. Para la sucesión [pic] determinar si es una progresión aritmética, y si lo es, hallar ladiferencia común y el primer término.
Si es una progresión aritmética debe cumplir que:
[pic]
Donde, [pic] es el término n-ésimo de la sucesión, [pic]es el primer término de la sucesión y [pic]la diferencia común de la sucesión.
Bastará con evaluar el primer, el segundo y el quinto término mediante las dos fórmulas para la sucesión, de ser iguales sus resultados, encontraremos que es unasucesión aritmética.
[pic]
[pic]
[pic]
Por tanto, la diferencia común es:
[pic]
Ahora, se evalúa la ecuación que debe cumplir la sucesión si es aritmética:
[pic]
Verificamos con otro valor, n = 10:
[pic] [pic]
Se observa que la sucesión cumple es una progresión aritmética, con diferencia común igual a 2 y primer término igual a 3
8. Dada la progresión aritmética...
Las progresiones aritméticas y geométricas son de gran utilidad en especial en ramas cómo por ejemplo las matemáticas financieras, donde debemos realizar diversos cálculos de orden financiero (interés compuesto), para lo cual es fundamental realizar operaciones a través del uso de progresiones geométricas.
Para el caso de las sucesiones, son muy importantes para determinarel conjunto de valores que presenta determinada secuencia con ciertas características determinadas.
OBJETIVO
▪ Identificar los términos generales de una sucesión y progresión y la relación de recurrencia.
▪ Demostrar si una sucesión es convergente, acotada, estrictamente creciente o decreciente.
▪ Conocer como se hallan las cotas superior e inferior de una sucesión.▪ Diferenciar entre una progresión aritmética y progresión geométrica mediante el desarrollo de ejercicios para cada caso.
ACTIVIDADES A REALIZAR
FASE 1
1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:
2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de
Recurrencia.
FASE 2
6. Hallar la cota superior e inferior, determinar si es acotada:FASE 3
APORTES SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS
1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:
a).
[pic]
b).
[pic]
c).
[pic]
2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.
a. [pic]; [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]El término general es [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
b. [pic]; [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
El término general es[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3. Demostrar que [pic] es estrictamente creciente.
Para probar que esestrictamente creciente se encontrará la cota inferior
[pic]
Y Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la sucesión es estrictamente creciente, ya que la cota inferior es menor que la cota superior.
4. Demostrar que [pic] es estrictamente decreciente.
Para probar que es estrictamente decreciente se evaluará la cota inferior y luego se verificara si su cota superior es menor.Esto se puede realizar dato que la sucesión no es oscilante.
Para la cota inferior:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, se demuestra que la secesión es estrictamente decreciente.
5. Hallar la mínima cota superior de la sucesión:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la cota superior es 2.
6. Hallar la cota superior e inferior, determinar sies acotada:
[pic]
Hallamos la cota superior:
[pic]
Por tanto, la cota superior es 2.
Hallamos la cota inferior:
[pic]
Luego, la cota inferior es 1.
Teniendo en cuenta que la cota inferior es 1 y la cota superior es 2, se puede afirmar que Vn esta acotada en el intervalo [1,2]
7. Para la sucesión [pic] determinar si es una progresión aritmética, y si lo es, hallar ladiferencia común y el primer término.
Si es una progresión aritmética debe cumplir que:
[pic]
Donde, [pic] es el término n-ésimo de la sucesión, [pic]es el primer término de la sucesión y [pic]la diferencia común de la sucesión.
Bastará con evaluar el primer, el segundo y el quinto término mediante las dos fórmulas para la sucesión, de ser iguales sus resultados, encontraremos que es unasucesión aritmética.
[pic]
[pic]
[pic]
Por tanto, la diferencia común es:
[pic]
Ahora, se evalúa la ecuación que debe cumplir la sucesión si es aritmética:
[pic]
Verificamos con otro valor, n = 10:
[pic] [pic]
Se observa que la sucesión cumple es una progresión aritmética, con diferencia común igual a 2 y primer término igual a 3
8. Dada la progresión aritmética...
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