Trabajo algebra lineal diagonalizacion

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana
Núcleo Maracay – Edo. Aragua

Integrantes:

Gabriel Fernández
Alfonzo vivas
AED-201

Maracay; 18/02/2010.

DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ N X N

Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D talque A es semejante a D.
Observación: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonalizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.
El siguiente teoremaestablece cuando una matriz es diagonalizable.
TEOREMA 2: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

λ 1 0 0 … 0
0 λ2 0 … 0
0 0 λ3 … 0
D =

0 0 0 … λn

donde λ1, λ2, ….. ,λn son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnasson vectores propios linealmente independientes de A, entonces
D = C-1AC

Demostración Primero se supone que A tiene n vectores propios linealmente independientes V1, V2, …, Vn que corresponden a los valores no propios (no necesariamente diferentes) λ1, λ2, …, λn.

Sea
C11 C12 C1nC21 C22 C2n

V1 = , V2 = , … Vn =

Cn1 Cn2Cnn

Y sea

C11 C12 … C1n
C21 C22 … C2n

C =Cn1 Cn2 … Cnm
Entonces C es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes. Ahora bien

A11 A12 … A1n C11 C12 … C1n
A21 A22 … A2n C21 C22 … C2n

AC =
An1 An2 … AnnCn1 Cn2 … Cnn


C1

Y se ve que la columna AC es A = C2i = Av1 = λivi. Así, AC es la matriz cuya

Cni

columna i es λivi y

λ1c11 λ2c12 … λnc1n
λ2c21 λ2c22 … λnc2n
AC =

λ1cn1λ2cn2 … λncnn

pero

C11 C12 … C1n λ1 0 … 0
C21 C22 … C2n 0 λ2 … 0

CD =
Cn1 Cn2 … Cnn 0 0 … λn

λ1c11 λ2c12 … λnc1n
λ2c21 λ2c22 … λnc2n

CD =

λ1cn1 λ2cn2 … λncnn

EntoncesAC = CD
Y como C es invertible, se pueden multiplicar ambos lados de (4) por la izquierda por C-1 para obtener
D = C-1 AC

Esto prueba si A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces A es...