TRABAJO DE ALGEBRA

TRABAJO DE ALGEBRA

TEMA:
CAMBIO DE BASES

ALUMNOS:
DANIEL DAVID MARTINEZ HIGUERA
DUVAN PEREZ HERNANDEZ
GERMAN GUERRERO ZUÑIGA

PROFESOR:
LEONARDO CARVAJAL

QUIMICA II

UNIVERSIDAD DE CORDOBA

MONTERIA

2015







Espacios fundamentales asociados a una matriz.
Generalmente los sub espacios vectoriales pueden ser descritos de dos formas: dando un conjunto de vectores que generen a dicho subespacio, tal como sucede con el espacio columna (o el espacio fila) de una matriz, donde se especifican las columnas (o filas) o dando una lista de restricciones que debe cumplir el sub espacio, es decir, en lugar de dar los vectores que lo generan, dar las propiedades que deben cumplir. Por ejemplo, el espacio nulo de una matriz A consta de todos los vectores que verifican Ax = 0 donde cada una de lasecuaciones de este sistema representa una restricción.
En el primer tipo de descripción puede haber filas o columnas combinaciones lineales de las demás y por ello, no sería necesario darlas para definir al sub espacio. En la segunda, pueden existir restricciones a las que les ocurra lo mismo, es decir, que puedan evitarse por estar implícitamente exigidas en las demás. En ambos casos es difícildar una base a simple vista, siendo necesario un procedimiento sistemático.
La idea consiste en dar una base para cada uno de los sub espacios asociados a una matriz A a partir de una matriz escalonada U, obtenida por eliminación gaussiana.
Espacio columna de A. [R(A)].
Dentición 2.16 [Espacio columna de una matriz A]
Se denomina espacio columna de una matriz A ∈ Rm×n y se denota por R(A)
Alespacio generado por las columnas de dicha matriz.
R(A) =< a1, a2,..., an >
Donde ai representan las columnas de la matriz A
Es frecuente denominarlo recorrido de A siendo consistente con la idea usual de recorrido de una función f como el conjunto de todos los posibles valores de f(x). Si f(x) está definida, X está en el dominio y f(x) es el recorrido.
En nuestro caso, el dominio de la función f(x) =Ax consta de todos los vectores x ∈ Rn y su recorrido, de todos los posibles valores Ax. En definitiva, los valores b para los que puede resolverse Ax = b.
El problema que pretendemos resolver es encontrar una base de R(A) así como su dimensión.
Para calcular su dimensión podríamos escalonar la matriz A mediante transformaciones elementales fila (eliminación gaussiana) y contar el número de pivotesno nulos. Ahora bien, al realizar dichas transformaciones estamos sustituyendo coordenadas de los vectores columna por combinaciones lineales del resto de sus coordenadas, por lo que las columnas linealmente independientes de la matriz escalonada U no se corresponden con una base del espacio columna de A.
R(A) ≠ R (U) aunque dim R(A) = dim R (U)
Sin embargo, las columnas de la matriz Acorrespondientes a las columnas de la matriz U en las que se encuentran los pivotes no nulos constituyen una base del espacio columna de A.
Ejemplo 2.9

Dado que los pivotes no nulos de la matriz U se encuentran en la primera y la tercera columnas, dichas columnas de la matriz A constituyen una base de su espacio columna.
BR(A) = {(1, 2, −1), (3, 9,3)} y dim R(A) = 2
Obsérvese que el espacio columna de Uestá generado por los vectores
BR(U) = {(1, 1,0), (3, 3,0)}
Por lo que la tercera coordenada de cualquier vector de R(U) es nula y por tanto

2.7.2 Espacio fila de A: [R (AT)].
Definicion 2.17 [Espacio fila de una matriz A]
Se denomina espacio fila de una matriz A ∈ Rm×n y se denota por R (AT) al espacio generado por las filas de dicha matriz.
R (AT) =< f1, f2,..., fn >
Donde fi representan las filasde la matriz A
Al aplicar la eliminación gaussiana a una matriz A se produce una matriz escalonada U. El espacio fila de U o espacio generado por las filas de U, se obtiene directamente. Su dimensión es el número de filas linealmente independientes y las filas no nulas constituyen una base.
El espacio fila de A tiene la misma dimensión que el de U así como la misma base, pues las transformaciones...