trabajo de aquino

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MODELOS DE PROBABILIDAD

1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
En ocasiones, algunas variables aleatorias siguen distribuciones de probabilidad
muy concretas, como por ejemplo el estudio a un colectivo numeroso de individuos que
se modelizan por la distribución “Normal”.
Estudiaremos algunas de las distribuciones o modelos de probabilidad más
importantes y que después nos resultarán muyútiles para el tema de la Estimación.
Como hemos visto, las variables pueden ser discretas o continuas; por ello, también las
distribuciones podrán ir asociadas a variables aleatorias discretas o continuas.

1.1.- Distribución uniforme discreta
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores x1.....xn tales la
1
probabilidad de tomar cada uno de los valores es Ρ( X = xi ) = . Cuandoesto ocurre se
n
dice que X se distribuye como una variable aleatoria Uniforme discreta. Esta es la
distribución discreta más sencilla, la cual asigna la misma probabilidad a cada una de
las soluciones.

1.2.- Distribución de Bernouilli
Considerado un experimento aleatorio en el cual solo hay dos posibles resultados
incompatibles a los que se les puede denominar éxito o fracaso, entonces sedice que X
es una variable aleatoria discreta que se distribuye como parámetro “p” donde “p” es la
probabilidad de obtener éxito., y se expresa
X → B( p)

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3_Apuntes de Estadística II
Por tanto, se puede decir que:
X=1 ---- P[éxito] = p ⇒ P[ X = 1] = p;
X=0 ---- P[fracaso] = 1-p ⇒ P[ X = 0] = 1 − p.

En esta distribución 1-p se suele denotar como q, y tanto la esperanza como lavarianza vienen dadas por las siguientes expresiones:
E[x] = 1·p + 0·q = p;
V[x] = p · p = p · (1-p) = p · q.
Ejemplo: El 10% de los trabajadores del país está desempleado, ¿Cuál es la
probabilidad de seleccionar un individuo al azar y esté desempleado?
X = 1 ⇒ Desempleado p = 0,1
X = 0 ⇒ Empleado

q = 1-p = 1-0,1 = 0,9

p(x=1)=0,1

1.3.- Distribución Binomial
Es una extensión de ladistribución de Bernouilli. Supongamos que se repite un
experimento “n” veces de forma idéntica e independiente. Los resultados de cada
realización del experimento se clasifican en dos categorías (como en el caso de
Bernouilli), una será la probabilidad de éxito p, y otra q=1-p, la de fracaso.
Así, por tanto, sea X una variable aleatoria discreta, se dice que se distribuye
como una distribuciónbinomial de parámetros (n,p). Siempre se debe de verificar que
n>1 y que p tome valores entre 0 y 1.
La función de probabilidad viene dada por la expresión:

[

]

⎛
ΡX = x =⎜n
i ⎜x
⎝ i

⎞ xi
⎟ p (1 − p )n − xi
⎟
⎠

x = 1,2,..., n .

Además, es fácil de comprobar que se verifica que E[x] = np y que
V [x] = np(1 − p) = npq .
Su función de distribución es:

x≤0

0
F(x)=∑ ( )p
n

I =1

1

n
xi

xi

(1 − p ) n − xi

0≤ x≤n
x>n

A continuación podemos ver varios ejemplos de variables que se distribuyen con
una Binomial: número de caras al lanzar 20 veces una moneda, número de aprobados si

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Modelos de Probabilidad

se presentan 80 alumnos a un examen, número de familias con un solo hijo en una
población de 120 familias, número dereacciones negativas ante un fármaco
administrado a 40 pacientes, número de accidentes de tráfico si han circulado 1200
automóviles ó número de semillas que germinan de las 20 semillas que se han plantado
en suelos de idéntica composición.
Propiedades de la distribución Binomial:
1. La distribución Binomial se puede obtener como suma de n variables aleatorias
independientes Bernouilli con el mismoparámetro “p”.
2. Si tenemos dos variables aleatorias que se distribuyen según una Binomial con
el mismo parámetro “p”, es decir, con la misma probabilidad de éxito,
X → B (n, p ) e Y → B ( m, p ) , entonces siempre se verifica
X + Y → B ( n + m, p ) .

Si no tienen la misma probabilidad no se pueden sumar.
3. Sea X una variable aleatoria e Y otra variable aleatoria que verifican que
X...