Trabajo De Arturo

Función de 2 variables
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio.
Unafunción de dos variables se denota usualmente con la notación
z = f (x, y)
Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).
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En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables esuna superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x, y, z).
Como el dominio de f es un conjunto de puntos del plano x, y, y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de  ¨f¨ corresponde a solo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede intersectar a la gráficade ¨f¨ en más de un punto.
La función ¨f¨ del ejemplo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:
z= 25-x2-y2.Por tanto, la gráfica de f es la semiesfera en el plano x y por arriba de este cuyo centro es el origen y tiene radio 5.
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Curvas de nivel
Para una función de 2 variables z = f(x, y), tenemos las CURVAS de nivel. Una curva de nivel esel conjunto de puntos (x, y) donde el valor de la función es una determinada constante z0. Entonces para hallar una curva de nivel se analiza f(x , y) = z0
Las curvas de nivel se grafican en z = 0 como una proyección de las curvas en el resto de los planos "z"
z = 0 corresponde al plano cartesiano (x , y)
Consideremos como ejemplo la función f(x, y) = x^2 +y^2.
- La curva de nivelcorrespondiente a z = 0 seria
x^2 +y^2 = 0, es decir, es el punto (x, y) = (0 , 0), que es la única solución a este caso, ya que 0^2 +0^2 = 0
- La curva de nivel correspondiente a z = 1 sería x^2 +y^2 = 1, que es la gráfica de un círculo de radio 1
- La curva de nivel correspondiente a z = 2 sería x^2 +y^2 = 2, que es la gráfica de un círculo de radio √2
- La curva de nivel correspondiente a z = 4sería x^2 +y^2 = 4, que es la gráfica de un círculo de radio 2
- La curva de nivel correspondiente a cualquier número negativo en esta función no existe, porque los números reales elevados al cuadrado dan como resultado un número positivo, y la suma de números positivos es otro número positivo
Si graficas varias curvas de nivel para esta función quedarán como círculos concéntricos con centroen el (0 , 0)
Un ejemplo real seria comparar la gráfica de una función z = f(x, y) con un paisaje con un cierto relieve. En cartografía se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna información tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada.
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Las curvas de nivel se obtienen cortando la gráfica con planos horizontales situados adistintas alturas. En la siguiente figura se muestra una gráfica (la del ejemplo previo) cortada con dos planos horizontales a distintas alturas.
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Otro ejemplo importante sería la silla de montar:
-90868558674000z = f(x, y) = x 2 − y 2 Sus curvas de nivel son la familia de hipérbolas x 2 − y 2 = c
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Derivadas parciales de segundo orden
Sea una función de dosvariables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

 Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
  Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:     :
  Para ello recordemos que la derivada de la función  z...