TRABAJO DE MATE

APLICACIONES DE LA MATEMATICA A LA INGENIERIA

1) VOLUMENES DE LIQUIDOS
Consideremos dos recipientes A y B que contienen un líquido viscoso y se vacían a una tasa proporcional al volumen V, digamos con k > 0 una constante dada. Supongamos que el volumen inicial de líquido del recipiente A es mientras que el recipiente B esta inicialmente vacío. Si el recipiente A comienza a vaciarse hacia elrecipiente B a tiempo t = 0. Hallar el volumen de líquido en el recipiente B a tiempo t.

Solución:

Por un lado, el volumen de líquido del recipiente A obedece la ecuación y por lo tanto , y como el volumen inicial es tenemos que


Por otro lado, el volumen de líquido VB(t) del recipiente B decrece a tasa −k VB(t), pero a la vez aumenta a tasa kVA(t), es decir



Reemplazando lo que se sabepara VA(t) obtenemos la siguiente ecuación para VB(t):


Multipliquemos por el factor integrante m(t) para ver qué debe satisfacer.


Queremos que el miembro izquierdo de la ecuación sea y para ello debe ser . Una solución no trivial de esta ecuación es . Así que la ecuación ahora transformada es



Que se simplifica en

Es decir y entonces



Usando que VB(0) = 0 obtenemos que C = 0 yfinalmente, el volumen del l´ıquido en el recipiente B a tiempo t es





2) EQUILIBRIO DE FASE
Los criterios de estabilidad son aplicables a una fase particular. Sin embargo, nada impide su aplicación a problemas sobre equilibrios de fase, donde la fase de interés (por ejemplo, una mezcla líquida) se encuentre en equilibrio con otra fase (por ejemplo, una mezcla de vapor). Considérense losequilibrios vapor/líquido en sistemas isotérmicos binarios, bajo presiones lo suficientemente bajas para que la fase vapor pueda ser considerada como una mezcla ideal de gases. ¿Cuáles son las implicaciones de la estabilidad de la fase líquida para las características de los diagramas isotérmicos P-x-y ?

Solución:

Enfocándose inicialmente en la fase líquida, se aplica la ecuación a la especie 1,De donde, puesto que no puede ser negativa,




De igual manera, con la ecuación aplicada a la especie 2 y



Al combinar las dos últimas desigualdades se obtiene:



Que es la base para la primera parte del presente análisis. Como para una mezcla de gases ideales y puesto que para el EVL, el lado izquierdo de la ecuación puede ser escrito como:



Así, la ecuación (A) queda:

que esuna característica esencial del EVL binario. Obsérvese que, si bien no es constante para el EVL isotérmico, la ecuación (A) es aún válida de manera aproximada, ya que su aplicación es a la fase líquida, para la cual sus propiedades son insensibles a la presión.
La siguiente parte de este análisis se basa en la ecuación de Gibbs/Duhem formulada respecto a la fugacidad, ecuación (12.4), y aplicadade nuevo a la fase líquida:

Se observa de nuevo que la restricción de P constante no es de importancia en este caso, debido a que las propiedades de la fase líquida son insensibles a la presión. Con para el ELV a bajas presiones,

Manipulaciones similares a las realizadas para deducir la ecuación (B) llevan a:

Porque mediante la ecuación (B) la ecuación (C) afirma que el signo de es el mismo queel signo de la cantidad
La última parte de este análisis se apoya en matemáticas simples, de acuerdo con que a T constante,


Pero por la ecuación (B) por lo que tiene el mismo signo que

Es un azeótropo, donde

A pesar de que se han deducido para condiciones de baja presión, estos resultados son de validez general.







3) FLUIDO DE AGUA

Solucion:





4) NIVEL DE AGUA






5) VECTORDE INCREMENTOS
Una empresa distribuye su producto en cuatro mercados A, B, C y
D en cantidades x, y, z, w, respectivamente. El costo de transportar una unidad de producto a cada mercado es de 3, 1, 2 y 1 $ respectivamente. La empresa estudia una modificación de su distribución, pero no quiere alterar la producción ni los costos de transporte. Comprueba que el conjunto de incrementos factibles...