Trabajo Y Energia

TRABAJO Y ENERGIA
SISTEMAS CONSERVATIVOS: POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL
En este capítulo se revisarán las definiciones que se dieron y estudiaron en el capítulo 5 de Estática, sobre sistemas conservativos, potencial y energía potencial.
Sistemas Conservativos. Consideremos la expresión para el trabajo desarrollado por una fuerza:
wk =∫c F. dr
(8-82)
La integral puede o no puede serindependiente de la trayectoria C; es independiente de la trayectoria cuando el sistema de fuerzas es conservativo. Un campo de fuerzas.
(i) Si F es función solamente de la posición, es decir, si
F = F (x,y,z);
(ii) Si existe una función escalar ф tal que F puede expresarse como si el gradiente de ф, es decir

F= grad = i―∂∅∂x+j∂∅∂y+k∂∅∂z
(8-83)

Fx=∂∅∂x, Fy= ∂∅∂y Fz=∂∅∂z.(8-84)
Entonces, el trabajo realizado por una fuerza conservativa actuando desde un punto 1 hasta un punto 2 a lo largo de la trayectoria.

(Wk)12= ∫12 F.dr= ∫12grad ∅.dr= ∫∂∅∂x dx+∂∅∂ydy+ ∂∅∂z dz=∫12d∅= ∅2-∅1.

(8-85)

Vemos que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria si la expresión correspondiente al integrando en la Ec.(8-82) es una diferencial exacta, y dependesolamente de los puntos extremos. La ecuación anterior indica que esto sucede cuando la fuerza es conservativa. Para una trayectoria cerrada.

(Wk)12= ∮F.dr=0,
(8-86)
Es decir, el trabajo realizado es 0

Potencial. La función ∅ introducida anteriormente, en términos de cuyo gradiente expresamos, se llama un potencial o una función fuerza. A partir de la teoría de las ecuaciones diferencialessabemos que se deben cumplir las siguientes condiciones para asegurar la existencia de una función potencial ∅: para cualquier F, F. dr es una diferencial exacta, si y solamente si:

∂Fx ∂y= ∂Fy ∂x, ∂Fy ∂z=∂Fz ∂y, ∂Fz ∂x=∂Fx ∂z
(8-87)

Para toda x, y, z en la región considerada. De este modo un campo de fuerzas es conservativo, cuando se satisfacen las condiciones anteriores.Energía Potencial. Usando la notación V o PE para designar la energía potencial, definimos el cambio de energía potencial ∆V, como el negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa al moverse desde la posición 1 hasta la posición 2 entonces,

∆V = V2 – V1 = - ∫12 F.dr= ∅1-∅2
(8-88)
Vemos que V= - ∅; por consiguiente,

(Wk)12 ∫12 F.dr= ∆V = V1- V2
(8-89)
Así, F puede expresarsecomo:

F= -grad V = - i ∂V∂x- j ∂V∂y- k∂V∂z

(8-90)
O bien
Fx = -∂V∂x, Fy= ∂V∂y, Fz= - ∂V∂z

(8-91)

Las condiciones que deben cumplirse para que exista una función potencial ∅, se aplican también a la función potencial V, que, por consiguiente, existe si y solamente si:

∂Fx∂y=∂Fy∂x, ∂Fy∂z=∂Fz∂y, ∂Fz∂x=∂Fz∂z
(8-92)
Además de la diferencia de signos entre la energíapotencial y el potencial, la función energía potencial generalmente involucra una constante adicional, que resulta de la elección arbitraria que se haga del punto (llamado punto dato), donde se mide la energía potencial.

Coordenadas Generalizadas. En capítulos anteriores hemos considerado lo relacionado con los grados de libertad, cuyo número corresponde al número de variables independientes ocoordenadas necesarias para especificar la configuración de un sistema. Es conveniente, especialmente para sistemas complicados- por ejemplo: un sistema de partículas y cuerpos rígidos – usar un conjunto de coordenadas independientes, q1, q2, . . . , qn que se llaman coordenadas generalizadas.
De este modo, podemos expresar la energía potencial V, como:

V= V (q1, q2, . . . , qn)
(8-93)

Acontinuación se presentan algunos ejemplos de campos de fuerza conservativos.

1.- Campo gravitacional uniforme (para una masa m situada a una altura z).
F= - mgk, ∅ = -mgz, V= PE = mgz,
(8-94)
En donde g es la aceleración gravitacional

2.- Fuerza central gravitacional (para dos masas m1 y m2) separadas una distancia r.

F= K – m1 m2rer, ∅= k m1 m2r, V= PE = - k m1 m2r ,
(8-95)
En...