Trabajo

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LIDIA ORTEGA SILVA

13 - Valores extremos con restricciones. Multiplicadores de Lagrange 13.1 - Teorema: Sea g una función continuamente diferenciable sobre un conjunto abierto U ⊆ IR 2 . S Sea S = {x ∈ U / g ( x ) = 0 ∧ ∇g ( x ) ≠ 0} Sea f continuamente diferenciable sobre S. x0 Seax0 ∈ S, tal que f ( x0 ) es extremo de f en S, entonces ∃λ ∈ IR , tal que

∇f ( x 0 ) = λ ⋅ ∇g ( x 0 )
Demostración: Sea x : I S una curva suave en S que pasa por x 0 , tal que x (to) = x 0 . Entonces la función ϕ : I IR tal que ϕ (t) = f (x(t)) tiene su extremo en to ∴ ϕ’ (to) = 0 . Como ϕ’(t) = ∇f ( x (t )) ⋅ x ' (t ) (regla de la cadena) ∴ ϕ’(to) = ∇f ( x 0 ) ⋅ x ' (t 0 ) = 0 ⇒ ∇f ( x ) esortogonal a toda curva sobre S que pasa por

x 0 , es decir, ∇f ( x0 ) = λ∇f ( x0 ) , pues ∇g( x 0 ) es ortogonal a toda curva sobre S que pasa por x 0 .
Nota: Para encontrar un extremo para f , sujeto a la restricción g( x ) = 0, se deben encontrar los puntos x tales que g( x ) = 0 y tales que ∇f ( x ) = λ∇g ( x ) , λ se llama multiplicador de Lagrange.

13.2 - Ejemplo Sea f(x,y) = x2 + y2 ,tal que y = x + 1. Determinar valores extremos para f. Respuesta: ∇f (x, y) = (2x, 2y) Sea g(x, y) = x – y + 1, luego ∇g(x, y) = (1, - 1) (2x , 2y) = λ( 1 , -1 ) implica que 2x = λ y 2y = λ, luego

x=

λ

2

,

y=−

λ

2 -

+1 2 2 1 1 , y = ∴ λ=-1 ⇒ x=2 2 ⎛ 1 1⎞ ⎜ − , ⎟ es un punto tal que g ( x ) = 0 ⎝ 2 2⎠
como y = x + 1,

λ

=

λ

y

∇ f = λ∇ g

⎛ 1 1⎞ Estudio enuna vecindad del punto ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠
1 1 1 ⎞ ⎞ ⎛1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 f ⎜ − + ∆x, + ∆y ⎟ = ⎜ − + ∆x ⎟ + ⎜ + ∆y ⎟ = + ∆ x 2 − ∆ x + + ∆y 2 + ∆ y 2 4 4 ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
2 2

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1 ⎛ 1 ⎞ 1 f ⎜ − + ∆x , + ∆y ⎟ = + ∆x 2 + ∆y 2 − ∆x + ∆y 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ 1 1⎞ 1 f ⎜− , ⎟ = ⎝ 2 2⎠ 2como y = x + 1, entonces 1 1 + ∆ y = − + ∆x + 1 ⇒ ∆y = ∆ x 2 2

1 ⎛ 1 ⎞ 1 ∴ f ⎜ − + ∆ x , + ∆ y ⎟ = + 2 ∆x 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ 1 1⎞ 1 f ⎜− , ⎟ = < ⎝ 2 2⎠ 2 1 + 2 ∆ x 2 ; ∀∆ x 2

⎛ 1 1⎞ 1 ∴ f ⎜− , ⎟ = es un valor mínimo absoluto. ⎝ 2 2⎠ 2

Nota: Si reemplazamos la restricción en la función f(x,y), se tiene una función de una variable f(x) = x2 + (x + 1)2, aplicando criterio para determinar valoresextremos a funciones de una variable, se tiene 1 f’(x) = 4x + 2, f’(x) = 0 si x = , f’’(x) = 4 > 0 2 1 ⎛ 1 1⎞ ∴ f ⎜− , ⎟ = es mínimo absoluto 2 ⎝ 2 2⎠ 13.3 - Generalización del método de Lagrange Si f está sujeta de K restricciones g1 ( x ) = 0

g k ( x) = 0
⎛ ∂g ⎞ tal que la matriz jacobiana ⎜ i ⎟ tiene rango k en cada punto x que satisface las ⎜ ∂x ⎟ ⎝ i⎠ restricciones , entonces los puntosdonde f toma valores extremos son los puntos que satisfacen las restricciones y la ecuación. ∇f ( x ) = λ1∇g1 ( x ) + − − − + λ k ∇g k ( x )

donde λ1, ---, λk son escalares, llamados multiplicadores de Lagrange.

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Ejemplo 1 Encontrar los puntos extremosde f (x, y, z) = x + y + z , sujeta a las condiciones : z2 + y2 = 2 , x + z = 1 Respuesta g1 (x,y,z) = x2 + y2 – 2 ∇g1 (x, y, z) = (2x, 2y, 0) ∇g2 (x,y,z) = (1, 0, 1) g2 (x,y,z) = x + z – 1 ∇f (x,y,z) = (1,1,1) f (x,y,z) = x + y + z
∴ (1,1,1) = λ1 (2x, 2y, 0) + λ2 (1,0,1) ∴ 1 = 2λ1x + λ2 1 = 2λ1 y 1 = λ2 ∴ λ2 = 1 ⇒ 0 = 2λ1 x ⇒ x1 = 0 λ1 =

1 = 2λ1 y x2 + y2 = 2 x+z=1

1 2y , y=±
2

comopara x = 0 , z = 1

Puntos a estudiar : ( 0, f (0, 2 , 1) = 2 +1

2 , 1)

(0, -

2 , 1)

f (0, -

2 , 1) = -

2 +1

Estudiaremos el comportamiento de f en una vecindad de cada punto. f ( 0 + ∆x, 2 + ∆y, 1 + ∆z) = ∆x + 2 + ∆y + 1 + ∆z. Como el punto ( 0 + ∆x,
2 + ∆y, 1 + ∆z) debe satisfacer las restricciones:

1) (0 + ∆x) + (1 + ∆z) = 1 ∆x + ∆z = 0 ∆x = - ∆z y además 2) (0 +...