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UCV

Matemática III

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.
Dominio y grafica de funciones
Definición.- Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es un
subconjunto de los números reales I 
y cuyo rango es un subconjunto de vectores de
, definido por la regla de correspondencia:

f :I 

n

n

t  f (t )   f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t )  ; t  I
Donde las n funciones ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t )) 

n

se denominan funciones componentes de la

función vectorial f (t ) y son funciones reales de variable real.
Observación:
1). Df  Df1  Df2  ...  Dfn
2).

(campo escalar)

Rang ( f )  R f  R f1  R f2  ...  R fn (campo vectorial)

Nota: El conjunto imagen f ( I ) 
Ejemplos:
Funciones de I en
1). La rectaen

3

se denomina la traza de f .

2
2

.

 (t )  p0  t a
donde p0  ( x0 , y0 ) punto fijo en

2

a  (a1 , a2 ) Vector paralelo a la recta.
2).

Parametrización de la circunferencia x2  y2  a2 o parte de ella.
a.)

 (t )  (a cos t , a sent ); 0  t  2

b)

 (t )  (a cos t , a sent ); 0  t 

c)

3).

 (t )  (a cos t , a sent ); 


2


2t 


2

Parametrización de la elipse
x2 y 2

1
a 2 b2

Prof. LEVA APAZA, Antenor

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4).

Matemática III

 x  a cos t
; 0  t  2

 y  bsent
  (t )  (a cos t , bsent ), 0  t  2
Parametrización de la hipérbola
x2 y 2

1
a 2 b2
  (t )  (a cosh t , b senht )
3

Funciones de I en
f :I  3

t  f (t )   f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t) 
1).

3

La recta en

 (t )  p0  t a , t 
Donde p0  ( x0 , y0 , z0 ) ,

a  (a1 , a2 , a3 ) Vector paralelo a la recta
2).

Si p1 ( x1 , y1 , z1 ) y p2 ( x2 , y2 , z2 ) definen el segmento dirigido p1 p2 , entonces su
ecuación vectorial es: f (t )  p1  t p1 p2 ; 0  t  1 .

3).


s
 s   s 
La hélice :  ( s)   a cos   , a sen   , b    , s 
c
c   c 


, donde c 2  a 2  b 2

Ejercicios propuestos:
1). Hallar el dominio de las siguientes funciones :
1
 2
a ) f (t )   et , ln t 2 , t ln 
t


1  sec2 (t  1) 
b ) f (t )   et , t  1  t 2 ,

(t  1)2





c ) f (t )  ln(t  1), t 2  2t  8



d ) f (t )  1  2sent , 2  sent ,5 
2). Dadas las funciones siguientes, graficar y hallarel rango.
a)

f (t )  (3t , t 2 )

b)

f (t )   cos t , sent 

c)

f (t )  (cos t , sent , 2)

t

4

e ) f (t )  (a cosh t , bsenht ); a  0 y b  0
d ) f (t )   2cos t , sent , 



t
t
f ) f (t )  e , e , 2 t



g ) f (t )   cos t  sent ,cos t  sent 
Prof. LEVA APAZA, Antenor

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Matemática III

Operaciones algebraicas confunciones vectoriales
Definición.- Consideremos las funciones vectoriales f , g :
respectivamente y sea  :





n

, con dominio D f y Dg

una función real con dominio D ; a las funciones

f  g ; f  g ; .g ; f .g definiremos mediante la siguiente regla de correspondencia:

 f  g   f (t )  g (t ); t  D  D  D
.g   .g (t); t  D  D  D
 f .g   f (t ).g (t )  f (t).g (t); t  D  D

a.)

f g

b.)



g

f

g

g

n

c.)

i

i 1

d.)

sea f , g :



3

i

f .g

f

 Dg

funciones vectoriales , entonces la función producto vectorial

f  g está dado por :

 f  g   f (t )  g (t );

t  D f g  D f  Dg

la función compuesta de  :
correspondencia:

e.)





con f :

n

es dadopor la regla de

 f   (t )  f  (t )   f ( (t)), f ( (t)),..., f ((t)) 
1

2

n

Limite de una función vectorial de variable real.
Definición.- Sea f (t ) una función vectorial y t0 un punto de acumulación de Df , se dice que
el vector b es el límite de f (t ) cuando t se acerca a t0 y se expresa como lim f (t )  b si y
t t0

solo si , para cada número real   0 ,...