transformaciones lieales
Páginas: 2 (333 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2014
RANGO Y NULIDAD.
Los subespacios pueden ser utilizados para describir las características de una matriz A de m x n. Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: elespacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen).
El espacio nulo de una matriz se puede definir como
Esto es, es el conjunto de todas las soluciones del sistema .
Estosconceptos también se aplican para las transformaciones lineales. Sea una transformación lineal T tal que . El espacio nulo se define como
.
Se le denomina nulidad, , a la dimensión de N. Se lerepresenta como .
El otro subespacio mencionado es la imagen de una matriz. Este se define como
.
La imagen de una transformación lineal está dada por
.
Con lamatriz A de se puede formar un espacio renglón RA , considerando como vectores a los renglones de la matriz A. El subespacio generado es de .
Por otra parte, se puede formar un espaciocolumna CA , considerando como vectores a las columnas de la matriz A. Estos vectores generan un subespacio en .
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe elnombre de rango de A , .
Se le representa como .
Ejemplo 1.
Sea la matriz
que define una transformación lineal y así . El espacio nulo constará de todos los vectores quecumplan con la condición . Esto quiere decir que
Esto define un sistema de ecuaciones lineales que tienen las siguientes soluciones
.
El espacio nulo es el conjunto de estos vectores:Este es un subespacio unidimensional de .
Para encontrar el rango se analiza el espacio columna de la matriz. El espacio columna está formado por los vectores , y .
Se genera unamatriz en la que los renglones son los vectores columna de la matriz A, esto es AT
y se lleva a su forma escalonada
Entonces, los vectores y generan el rango de T. Los vectores...
Los subespacios pueden ser utilizados para describir las características de una matriz A de m x n. Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: elespacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen).
El espacio nulo de una matriz se puede definir como
Esto es, es el conjunto de todas las soluciones del sistema .
Estosconceptos también se aplican para las transformaciones lineales. Sea una transformación lineal T tal que . El espacio nulo se define como
.
Se le denomina nulidad, , a la dimensión de N. Se lerepresenta como .
El otro subespacio mencionado es la imagen de una matriz. Este se define como
.
La imagen de una transformación lineal está dada por
.
Con lamatriz A de se puede formar un espacio renglón RA , considerando como vectores a los renglones de la matriz A. El subespacio generado es de .
Por otra parte, se puede formar un espaciocolumna CA , considerando como vectores a las columnas de la matriz A. Estos vectores generan un subespacio en .
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe elnombre de rango de A , .
Se le representa como .
Ejemplo 1.
Sea la matriz
que define una transformación lineal y así . El espacio nulo constará de todos los vectores quecumplan con la condición . Esto quiere decir que
Esto define un sistema de ecuaciones lineales que tienen las siguientes soluciones
.
El espacio nulo es el conjunto de estos vectores:Este es un subespacio unidimensional de .
Para encontrar el rango se analiza el espacio columna de la matriz. El espacio columna está formado por los vectores , y .
Se genera unamatriz en la que los renglones son los vectores columna de la matriz A, esto es AT
y se lleva a su forma escalonada
Entonces, los vectores y generan el rango de T. Los vectores...
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