Transformaciones

GRUPOS DE TRANSFORMACIONES

Los sistemas matemáticos básicos son, generalmente, conjuntos con cuyos elementos podemos operar algebraicamente (con “operar algebraicamente” entendemos que podemos combinar dos elementos del conjunto, quizá de varias maneras,
para obtener un tercer elemento también del conjunto) y , además también suponemos que estas operaciones algebraicas están sujetas a ciertasreglas que se indican
explícitamente en lo que se llama sistema de axiomas o postulados definitorios del
sistema. La adición de vectores, la composición de funciones, la multiplicación y
adición de funciones reales, la adición y la multiplicación de números reales, son
ejemplos de sistemas matemáticos.
Los sistemas matemáticos que se estudian, son estudiados porque casos particulares de tales“estructuras” han aparecido una y otra vez, porque alguien, finalmente, notó que estos casos particulares eran realmente concreciones de un fenómeno
general. Las analogías entre objetos matemáticos aparentemente disímiles son las
que dirigen hacia una investigación sobre las raíces de estas mismas analogías. Por
ejemplo, la adición de vectores, la composición de funciones y la multiplicación yadición de funciones reales tienen propiedades que son semejantes a las propiedades
aditivas y multiplicativas del sistema de los números reales. Uno de los sistemas
matemáticos (algebraicos) básicos es el de grupo. El concepto de grupo nos permite
enfatizar la unidad de ideas y métodos que entran en el estudio de muchos tipos
diferentes de sistemas y nos da un lenguaje sencillo con el que sepueden expresar
resultados básicos en nuestro estudio de las transformaciones.
Definición. 1. Sea G un conjunto no vacío. Una operación binaria sobre el conjunto
G es una función
• : G × G −→ G
a la que denotamos mediante (σ, τ ) → σ • τ ∈ G (σ y τ son elementos de G ).
Notemos que la función • cumple la propiedad de que para todos los pares (σ, τ ),
con σ, τ ∈ G , se debe tener que σ • τ ∈G. Es frecuente decir que la operación •
es una operación cerrada, o estable, para indicar que cada vez que se operan dos
elementos de G se obtiene otro elemento de G. También, a la operación se le llama
una operación binaria porque asigna un elemento de G a cada para de elementos
de G.
Definición. 2. Un grupo es un conjunto no vacío G junto con una operación
binaria
• : G × G −→ G
quesatisface las siguientes condiciones:
1. La operación es asociativa, es decir,
a • (b • c) = (a • b) • c
para cualesquiera a, b, c ∈ G.
2. Existe un elemento neutro e ∈ G que satisface
a•e=a=e•a
1

3. Para cada elemento a ∈ G existe otro elemento a∗ ∈ G tal que
a • a∗ = e = a∗ • a
Al elemento a∗ se le llama un inverso del elemento a.
Si, además,
4. a • b = b • a para cualesquiera a, b ∈G (ley conmutativa), el grupo G se dice
que es conmutativo o abeliano. Si la ley conmutativa no se verifica, decimos
que el grupo es no conmutativo.
Teorema 1. El conjunto Υ de todas las transformaciones no singulares es un grupo
no conmutativo bajo la composición.
Prueba. Es claro que la composición de transformaciones no singulares es, nuevamente, una transformación no singular; por lotanto, la composición de transformaciones no singulares es una operación binaria en Υ. Probamos ahora, una tras
otra, las restantes propiedades.
1. La ley asociativa es una propiedad general de la composición de funciones.
2. La transformación identidad es una transformación no singular y
T ◦I =I ◦T =T
para todas las transformaciones no singulares (en general, para todas las
transformaciones). Launicidad de la identidad es una propiedad general de
los grupos: Supongamos que en un grupo G cualquiera hay un elemento e´
tal que e´ • a = a = a • e´ , para todo a ∈ G. Entonces
e = a • a∗ = e´ • a • a∗ = e´ • (a • a∗ ) = e´ • e = e
Así entonces, una vez que demostremos que Υ es un grupo, sabremos que I
es la única identidad en Υ.
3. Es claro que la inversa de una transformación no...