transformadas de la place


INVESTIGACION
INVESTIGACIÓN DE CONCEPTO DE OTORGONALIDAD DE LA FUNCIÓN, EJERCICIOS RESUELTOS, EXPLICACIÓN DEL TEOREMA DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER CON EJERCICIOS RESUELTOS CONCEPTO Y PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LAS FUNCIONES PARES E IMPARES, APLICACIÓN DE LA SERIES DE FOURIER EN MODELADO Y ANÁLISIS DE VIBRACIONES MECÁNICAS Y ARMÓNICAS



VELAZQUEZ NARVAEZ CESAR EDUARDOCATEDRATICO: DCIQ PEDRO NAVA DIGUERO
ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS
GRUPO: IMI-8A
FECHA PROGRAMADA PARA ENTREGA: 28 DE JULIO 2014
En análisis funcional, se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar  es nulo.
Que dos funciones particulares sean ortogonales depende de cómo se haya definido su producto escalar, es decir, de queel conjunto de funciones haya sido dotado de estructura de espacio prehilbertiano. Una definición muy común de producto escalar entre funciones es:



Con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado y w(x) es una función peso (en muchas aplicaciones se toma w(x) = 1).
Las soluciones de un problema de Sturm-Liouville, es decir, las soluciones de ecuacionesdiferenciales lineales con condiciones de borde adecuadas pueden escribirse como una suma ponderada de funciones ortogonales (conocidas también como funciones propias). Así las soluciones del problema:




Funciones ortogonales y series de Fourier
Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clasico del Análisis Matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el estudio de lasvibraciones de una cuerda, las series de Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el análisis de ciertos fenómenos periódicos de la Física y la Ingeniera. La idea fundamental se basa en aproximar la función, no por una serie de potencias (desarrollo de Taylor), sino por una serie de funciones periódicas (senos y cosenos).
En lo que sigue consideraremos que las funciones con las que setrabaja son Riemann integrables en el intervalo correspondiente (bastara, por ejemplo, suponer que son continuas salvo en un numero finito de puntos donde presentan discontinuidades de salto).

Funciones ortogonales
El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo [a, b] es el numero



Entonces la norma que induce este producto escalar de una función f definida en elintervalo [a, b] es el numero



Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo [a, b] si



Por ejemplo, las funciones f1(x) = x2 y f2(x) = x3son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que


Se dice que un conjunto de funciones {ϕn} ∞ n=0 es ortogonal en el intervalo [a, b] si


Si {ϕn} ∞ n=0 es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] con lapropiedad de que ∥ϕn∥ = 1 para cualquier n, entonces se dice que {ϕn} ∞n=0 es un conjunto ortonormal en el intervalo [a, b].

El conjunto {ϕn(x) = cos(nx)} ∞ n=0 es ortogonal en el intervalo [−π, π]. En efecto,


Si m y n son ambos distintos de 0,




Ejemplo:
En este ejemplo, si calculamos las normas de cada función, obtenemos:



De manera análoga puede probarse que el conjunto


esortonormal en [−π, π].




Es conocido que, dada una base ortogonal en un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier elemento de dicho espacio vectorial puede representarse como combinación lineal de los elementos de esa base. Nuestro objetivo es extender esta propiedad a un espacio de dimensión infinita.
Sea {ϕn} ∞ n=0 un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y sea funa función definida en ese intervalo. Los coeficientes cm, m = 0, 1, 2, . . . , para los que


Se calculan multiplicando esta expresión por ϕm e integrando en el intervalo [a, b]


Por ortogonalidad, cada termino del lado derecho de la ultima ecuación es cero, excepto cuando n = m. En este caso, se tiene
Este desarrollo se llama desarrollo en serie ortogonal de f (o también, serie de...