trasnformaciones

Estructuras algebraicas (Anillos)
Consideremos un conjunto no vacío A, dotado de dos operaciones que convenimos en llamar suma y producto y en simbolizarlas como tales, aunque su naturaleza no seala de las operaciones aritméticas usuales. Decimos que A es un anillo si respecto a la suma es un grupo conmutativo, respecto al producto es un semigrupo y el producto es distributivo respecto a lasuma por ambos lados. Es decir, si para cualesquiera es
,
, y también
;
Existe un elemento  tal que
 Para todo;
Dado  siempre es posible hallar  tal que
,
Y finalmente se cumple que
 Y.
Encualquier anillo se precisa de la existencia de un cero (neutro aditivo). Por tanto, si tomamos un conjunto unitario  y definimos en él dos operaciones como  y, tendremos trivialmente un anillo donde elúnico elemento ( ) hace el papel del cero. Un ejemplo más interesante de anillo es el de los números enteros  con la suma y el producto aritméticos. Dentro de los anillos podemos aplicar las reglas decálculo habituales. Por ejemplo, si A es un anillo y   son elementos de dicho anillo, tenemos

Entendiendo que  representa al opuesto de. La demostración de esta última desigualdad resultaclarificadora pues nos muestra los procesos sutiles con los que hemos de trabajar en álgebra abstracta. En efecto, tomamos  y aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, la propiedadasociativa de la suma y la existencia de neutro aditivo, para obtener

Ahora sólo restaría sumar a ambos miembros el opuesto de  para llegar a la igualdad pedida


El lector observará el especialcuidado con el que se han de usar las propiedades establecidas en el anillo y, sobre todo, cómo ha de evitarse la tentación de “abreviar” inspirándose en la familiaridad de los símbolos.
Si un anilloA tiene elemento neutro para el producto se llama anillo unitario. Dicho neutro multiplicativo se suele notar como, o simplemente 1 si no hay confusión. Para evitar trivialidades supondremos que...