Triangulo de pascal

Triángulo de Pascal

1

Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton. También es conocidocomo Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este Triángulo de Pascal o de Tartaglia triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.

Composición del Triángulo de Pascal
El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos elnúmero «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 =3)... Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:

pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:

Triángulo de Pascal

2

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que proporciona las potencias de una suma (1) En estaexpresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.

se denomina Binomio de Newton.

Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b+ w+ d)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b. Para obtener el resultado de cualquiervalor de n ∈ N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.

El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³. Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:

Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la sumaconsiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.

Coeficientes del binomio de Newton
Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:

o más raramente

Triángulo de Pascal ("C" por "combinación") y se dice "nsobre p", "'combinación de n en p"' ó "coeficiente binomial n, p". Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):

3

para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la "definición" :

vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmulase deducen dos consecuencias:
Tomando X = 1 se obtiene:

La suma de los coeficientes de una misma línea vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 = 2 = 2¹, 1 + 2 + 1 = 4 = 2², 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 ... · Con X = -1 se obtiene, (n > 0):
: la suma alterna de los números de una misma línea vale 0.

En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1= 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... Las propiedades que hemos observado en el triángulo se pueden ahora escribir con todo rigor:
.

(costados izquierdos y derechos del triángulo).

.

("segunda capa").

.

(simetría respecto al eje vertical del triángulo).

.

cuando p > n (corresponde a la zona fuera del triángulo).

Y claro, la regla de construcción del triángulo da la...