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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES
2 -1 ⎞
0 1 ⎞
1 3 5 ⎞
1. Dadas las matrices A = ⎛⎝
, B = ⎛⎝
y C = ⎛⎝
, calcular si es posible:
3 2 ⎠
4 -2 ⎠
2 -1 1 ⎠
a) A + B

c) CB y CtB

b) AC

d)(2A+B)C

Solución
2 -1 ⎞
0 1 ⎞
2+0 -1+1 ⎞
2 0 ⎞
a) A + B = ⎛⎝
+ ⎛⎝
= ⎛⎝
= ⎛⎝
3 2 ⎠
4 -2 ⎠
3+4 2+(-2) ⎠
7 0 ⎠
2 -1 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
2.1+(-1)2 2.3+(-1)(-1)
b) AC = ⎛⎝
= ⎛⎝
3 2 ⎠ ⎝ 2 -1 1 ⎠
3.1+2.2
3.3+2(-1)

2.5+(-1)1 ⎞
0 7 9 ⎞
= ⎛⎝
3.5+2.1 ⎠
7 7 17 ⎠

c) El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de
B no coinciden.
En cambio, el producto CtB si que se puederealizar porque el número de columnas de Ct y el
número de filas de B es el mismo.
En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
t
⎛ 1 2 ⎞
1 3 5 ⎞
=
Ct = ⎛⎝
⎜ 3 -1 ⎟
2 -1 1 ⎠
⎝ 5 1 ⎠

1.1+2(-2) ⎞
⎛ 1 2 ⎞ 0 1 ⎞ ⎛ 1.0+2.4
⎛ 8 -3 ⎞
3.0+(-1)4 3.1+(-1)(-2) ⎟ = ⎜ -4 5 ⎟
Así, CtB = ⎜ 3 -1 ⎟ ⎛⎝
=
⎜
⎝ 5 1 ⎠ 4 -2 ⎠ ⎝ 5.0+1.4
⎝ 4 3 ⎠
5.1+1(-2) ⎠
d) Paracalcular (2A+B)C se realiza en primer lugar la operación del paréntesis:
2.2 2(-1) ⎞
0 1 ⎞
4 -2 ⎞
0 1 ⎞
4+0 (-2)+1 ⎞
4 -1 ⎞
+ ⎛⎝
= ⎛⎝
+ ⎛⎝
= ⎛⎝
= ⎛⎝
2A+B = ⎛⎝
2.3
2.2 ⎠
4 -2 ⎠
6 4 ⎠
4 -2 ⎠
6+4 4+(-2) ⎠
10 2 ⎠
4 -1 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
4.1+(-1)2 4.3+(-1)(-1)
Así, (2A+B)C = ⎛⎝
= ⎛⎝
10 2 ⎠ ⎝ 2 -1 1 ⎠
10.1+2.2
10.3+2(-1)

4.5+(-1)1 ⎞
=
10.5+2.1 ⎠

2 13 19 ⎞
= ⎛⎝
14 28 52 ⎠
2 -1 ⎞
0 1 ⎞
1 3 5 ⎞
2. Dadas las matrices A= ⎛⎝
, B = ⎛⎝
y C = ⎛⎝
, calcular si es posible:
3 2 ⎠
4 -2 ⎠
2 -1 1 ⎠
a) ABC

1
b) Ct ⎛ B-A⎞
⎝2
⎠

c) A2, B2 y C2

Solución
a) Para calcular ABC, se calcula primero el producto AB y el resultado se multiplica a la derecha por
la matriz C.
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Unidad didáctica 6. Matrices,determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2 -1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞
2.0+(-1)4 2.1+(-1)(-2) ⎞
-4 4 ⎞
AB = ⎛⎝
= ⎛⎝
= ⎛⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
3 2
4 -2
3.0+2.4
3.1+2(-2)
8 -1 ⎠
-4 4 ⎞ ⎛ 1 3 5 ⎞
(-4).1+4.2 (-4)3+4(-1)
Así, (AB)C = ⎛⎝
= ⎛⎝
8 -1 ⎠ ⎝ 2 -1 1 ⎠
8.1+(-1)2 8.3+(-1)(-1)

(-4).5+4.1 ⎞
=
8.5+(-1)1 ⎠

4 -16 -16 ⎞
= ⎛⎝
6 25 39 ⎠
Por la propiedad asociativa delproducto de matrices, el resultado sería el mismo si primero se
calculase BC y el resultado se multiplicara a la izquierda por A.
b) En primer lugar se calcula la matriz traspuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas,
t
⎛ 1 2 ⎞
1 3 5 ⎞
⎛
=
C =⎝
⎜ 3 -1 ⎟
2 -1 1 ⎠
⎝ 5 1 ⎠
t

1
A continuación se calcula B-A,
2
1
B-A =
2

⎛ 12.0
⎜1
⎝ 2.4

1
.1
2
1
(-2)
2

⎞ ⎛2
⎟-⎝ 3
⎠

⎛ 0 1 ⎞
⎛ 0-2 1-(-1) ⎞ ⎛ -23 ⎞
-1 ⎞
2 -1 ⎞
2 ⎟-⎛
2
2 ⎟
=
=
⎜
⎟=⎜
⎝ 3 2 ⎠ ⎜
2 ⎠
⎝ 2 -1 ⎠
⎝ 2-3 -1-2 ⎠ ⎝ -1 -3 ⎠

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ -2 3 ⎞
⎞
2
Así, C B-A = ⎜ 3 -1 ⎟ ⎜
⎝2
⎠ ⎝ 5 1 ⎠ ⎝ -1 -3 ⎟⎠ =
t⎛1

⎛
⎜ 3(-2)+(-1)(-1)
⎝ 5(-2)+1(-1)
1(-2)+2(-1)

3
1 +2(-3)
2
3
3 +(-1)(-3)
2
3
5 +1(-3)
2

⎞ ⎛
⎟=⎜
⎠ ⎝

-9
2
15
-5
2
9
-11
2
-4

⎞
⎟
⎠

2 -1 ⎞ ⎛ 2 -1 ⎞
2.2+(-1)3 2(-1)+(-1)2 ⎞
1 -4 ⎞
= ⎛⎝
= ⎛⎝
c) A2 = AA = ⎛⎝
3 2 ⎠⎝ 3 2 ⎠
3.2+2.3
3(-1)+2.2⎠
12 1 ⎠
0 1 ⎞⎛ 0 1 ⎞
0.0+1.4
0.1+1(-2) ⎞
4 -2 ⎞
B2 = BB = ⎛⎝
= ⎛⎝
= ⎛⎝
4 -2 ⎠ ⎝ 4 -2 ⎠
4.0+(-2)4 4.1+(-2)(-2) ⎠
-8 8 ⎠
No se puede calcular C2 = CC, ya que C no es una matriz cuadrada.

⎛ 2 6 3 ⎞
⎛ 1 1 1 ⎞
3. Dadas las matrices A = ⎜ 0 9 5 ⎟ y B = ⎜ 2 -4 2 ⎟, se pide:
⎝ -6 2 1 ⎠
⎝ 3 5 7 ⎠
a) Calcular AB y BA, ¿coinciden los resultados?.
b) Calcular (A + B)2 y A2 + 2AB + B2, ¿coinciden losresultados?.
c) Calcular A2 - B2 y (A + B)(A – B), ¿coinciden los resultados?.

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Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

Solución

⎛ 2 6 3 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 2.1+6.2+3.3 2.1+6(-4)+3.5 2.1+6.2+3.7...