un mundo feliz

Pretender alcanzar el éxito sin esforzarse es como pretender cosechar en donde no se ha sembrado nada.

El ángulo A es conocido como ángulo en posición
normal y siempre se mide a partir del eje “X” en dirección
contraria a las manecillas del reloj o positiva. Cuando se
mide a favor de las manecillas del reloj es conocida como
“dirección negativa”.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La geometríaplana o euclidiana, estudia tres relaciones
significativas respecto a los triángulos:
1. Relación entre los ángulos
interiores de un
triángulo. La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º.

Se puede ubicar un punto en los cuadrantes II, III o IV y
completar los triángulos rectángulos con el eje “X”,
correspondientes a cada cuadrante como se pude ver en
la figura 6.2.

2.Teorema de Pitágoras: implica la relación entre los
lados de un triángulo rectángulo.

Para cualquier cuadrante el ángulo en posición normal A
se mide a partir del eje “X” positivo.

3. Razones trigonométricas: implican la relación entre un
ángulo y los lados de un triángulo rectángulo.

Y

Cuadrante II
U (-x,y)

6.1 Ángulo en posición normal y ángulo
reducido.

y

En la figura6.1 se muestra un plano cartesiano,
recordemos que se divide en cuatro cuadrantes. En este
plano se ubica un punto W en el primer cuadrante.

r
A

B
-X

-x

X

O

Y

Y

Cuadrante I

Cuadrante II

A

W (x,y)

-x
-X

O

X

B
-y

y

r

Cuadrante III

V (-x,-y)

A
O

x

r

X

-Y
Y

Cuadrante III

Cuadrante IV

A

x
X

O
B

Figura6.1 Plano cartesiano.

Cuadrante IV
-y

Si completamos un triángulo rectángulo, podemos ver que
tenemos un ángulo  A medido a partir del eje “X”, un
lado adyacente “x” y un lado opuesto “y”, la distancia del
origen O al punto W es conocida como radio vector “r”.

r

Z (x,-y)

-Y

Figura 6.2 Ángulo en posición normal A y ángulo reducido B para
los cuadrantes II, III y IV.

Cuandose aplica el teorema de Pitágoras, el lado opuesto
y adyacente, también son conocidos con el nombre de
cateto opuesto y adyacente respectivamente, el radio
vector “r” es conocido como hipotenusa y es el lado de
mayor longitud del triángulo.

El ángulo B dibujado para cada ángulo en posición normal
de la figura 6.1 y 6.2 es conocido como “ÁNGULO

1

Pretender alcanzar el éxito sinesforzarse es como pretender cosechar en donde no se ha sembrado nada.

REDUCIDO”. Este ángulo es útil para el uso de las tablas
matemáticas.

6.2 Razones trigonométricas de un
ángulo en posición normal.

Para determinar el ángulo en posición normal para
ángulos mayores de 360º, se realiza lo siguiente, por
ejemplo para el  E = 2675º
Primero se divide entre 360º para obtener el númerovueltas completas que forma el  E, se obtienen 7,
después
se
restan
esas
vueltas
de
 E;
2675º - (7 x 360º) = 155º.

Razón: comparación entre dos magnitudes homogéneas,
existe sólo si su denominador es diferente de cero.
Ejemplo:

El ángulo obtenido de 155º es el ángulo en posición normal
del  E = 2675º.

a c
,
, etc.
b d

Para el plano cartesiano de la figura 6.4
YEjemplo: para el  H = 7825º, localizar en el plano el
ángulo en posición normal A.

P (x,y)

7825º
 21.736 lo que nos dice que este ángulo se
360 º

C

r

forma de 21 vueltas de 360º, después se calcula el residuo,
7825º - (21 x 360º) = 265º

y

A

El ángulo de 265º es el ángulo en posición normal A del
 H = 2675º. Como el ángulo en posición normal llega
hasta el tercercuadrante, el ángulo reducido es igual a 
B = 85º, medido a partir del eje “X” negativo. Ver la figura
6.3.

X

x

O

Figura 6.4

Se ubica un punto P y se construye un triángulo rectángulo
virtual, donde A es el ángulo en posición normal y C es su
complemento. Las razones trigonométricas para este
triángulo rectángulo son:

Y

Seno del ángulo A es la razón que resulta de dividir la...