Unidad_1Act._1 (1)










1. Análisis del problema: Intercambiar dos números
2. Definición del problema: Intercambiar los números 24 y 9
3. Definición de entradas y salidas:
Entradas:
- Los números enteros que se van a utilizar son el 9 y 24
Salida:
-Imprimir valores de las variables num1 y num2 que mostraran los números 9 y 24
4. Proceso de solución:
1) Asignarles nombre a tresvariables: v. núm. 1, v.num.2 y aux.
2) A la variable num1 le corresponderá el número 24
3) A la variable num2 le corresponderá el número 9
4) A la variable aux. se le asignará el valor contenido en la variable núm. 1
5) A la variable num.1 se le asignara asignará el valor contenido en la variable núm. 2
6) A la variable num.2 se le asignara el valor de la variable aux.
7) Imprimir losvalores de las variables num1, num2 que exhibirán los números 9 y 24.
8)Fin
5. Comprobación: Verificar que se impriman los valores correctamente.

La Reducci¶on al Absurdo es uno de los m¶etodos m¶as usados para hacer demostra-
ciones matem¶aticas. La idea es suponer que la proposici¶on que queremos demostrar
es falsa, y a partir de esta suposici¶on, usando deducciones matem¶aticas, llegar a unacontradicci¶on o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposici¶on es necesariamente
cierta.
Veamos un ejemplo de una demostraci¶on por reducci¶on al absurdo:
P1. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n
2 + n
3 = m + m2
, entonces n
es par
Soluci¶on. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una con-
tradicci¶on.
Como n es impar, entonces n
2
y n3
son ambos impares, de donde n + n
2 + n
3
es
impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n
2 + n
3
, se
tiene que m + m2
es impar.
Sin embargo m + m2
es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente
alguno de los n¶umeros m ¶o m+1 es par). Hemos llegado a una contradicci¶on. De all¶³ se
tiene que n es par, que es lo que quer¶³amos demostrar.
Unejemplo muy famoso del m¶etodo de reducci¶on al absurdo es la demostraci¶on de
que existen in¯nitos primos:
Soluci¶on. Supongamos que el n¶umero de primos es ¯nito. Sean p1; : : : ; pn todos los pri-
mos. Sea p = p1 ¢ ¢ ¢ pn + 1. Claramente p no es divisible por ning¶un primo. Sin embargo
sabemos que todo entero puede ser expresado como producto de primos elevados a po-
tencias, por lo que pdebe ser necesariamente divisible por alg¶un primo Podr¶a todav¶³a
ser cubierto si se elimina la casilla en una de las esquinas del tablero? >Y si se eliminan
las dos casillas de dos esquinas opuestas?.
1P3. En cada casilla de un tablero de ajedrez 7 £7 se coloca un caballo. >Podr¶an todos
ellos hacer un movimiento legal al mismo tiempo de tal manera que todos caigan en
casillas distintas?.P4. Sean a, b y c enteros impares. Demuestre que no existe ning¶un n¶umero racional x
tal que ax
2 + bx + c = 0.
P5. Demuestre que existen in¯nitos primos de la forma 4k + 3, con k un entero.
Soluci¶on. Supongamos que el n¶umero de primos de la forma 4k + 3 (k entero) es
¯nito. Sean 4k1 + 3; 4k2 + 3; : : : ; 4kn + 3 todos los primos de esa forma. Sea a =
2(4k1 + 3)(4k2 + 3)¢ ¢ ¢(4kn + 3) +1.
Como (4k1+3)(4k2+3)¢ ¢ ¢(4kn+3) es impar, entonces 2(4k1+3)(4k2+3)¢ ¢ ¢(4kn+
3) ´ 2(m¶od 4). Por lo tanto a ´ 3(m¶od 4). Por otro lado, es claro que a no es divisible
por ninguno de los n¶umeros 4k1+3; 4k2+3; : : : ; 4kn+3. Esto implica que ninguno de los
primos divisores de a es de la forma 4k+3 (k entero). C¶omo a es impar, entonces todos
los primos divisores de a deben ser de la forma 4k+ 1. Por lo tanto a ´ 1(m¶od 4). Esto
contradice el hecho que hab¶³amos obtenido anteriormente que dice que a ´ 3(m¶od 4).
Esta contradicci¶on es resultado de suponer que el n¶umero de primos de la forma 4k + 3
(k un entero) es ¯nito. Luego, el n¶umero de primos de la forma 4k + 3 es in¯nito.
P6. Demuestre que existen in¯nitos primos de la forma 6k + 5, con k un entero.
P7. Sea n un...