Unidad 3

DIVERGENCIA ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA Y FÍSICA
Divergencia de un campo vectorial
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω ⊆ Rny consideremos sus
coordenadas F = (F1, F2, . . . ,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈ Ω, lo que
sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2, . . . , n, sean diferenciables
en el punto a. De hechocada vector gradiente ∇Fk(a) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana
de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F
en el punto a, y se denota por div F(a). Así pues, se tendrá:
F
F
F
n
div F(a) = ∂ 1(a) + ∂ 2(a) + . . . + ∂ n (a) = ∑ ∂Fk (a).
k=1 ∂xk
∂x1∂x2∂xn
Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos unafunción
div F : Ω → R que en cada punto x ∈ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho
punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω:
F
F
F
n
div F = ∂ 1+∂
2 +. . . + ∂
n=
∑ ∂Fkk
k=1 ∂x
∂x1
∂x2
∂xn
(

Para un campo vectorial plano (x, y) 7→ F(x, y) = P(x, y), Q(x, y)
en un punto (x0,y0), tendremos
P
Q
div F(x0, y0) = ∂ (x0, y0) +∂ (x0, y0)
∂x
∂y

, que sea diferenciable

Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R2podremos escribir
P
Q
(en Ω)
div F = ∂ + ∂
∂y
∂x
Análogamente, si F = P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciable
en un punto (x0,y0, z0), tendremos
P
Q
R
div F(x0,y0, z0) = ∂ (x0, y0, z0) + ∂ (x0, y0, z0) + ∂ (x0, y0, z0),
∂x
∂y
∂z
y cuando F sea diferenciable en unabierto Ω ⊆ R3podremos escribir
P
Q
R
div F = ∂ + ∂ + ∂
(en Ω)
∂y
∂z
∂x
Vector simbólico “nabla”.
introducir el simbolismo
∇=

Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil
(∂

, ∂ ,...,∂
∂x1 ∂x2
∂xn

n

=

∂

∑ ∂x

k=1

ek
k

y manejar ∇ como si se tratase de un vector de Rn.
Por ejemplo, si f es un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ Rnydiferenciable en
un punto a ∈ Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar f (a) se obtiene la
expresión correcta del vector gradiente:
f
f
n ∂f
(∂f
(a), ∂ (a), . . . , ∂ (a) = ∑
∇ f (a) =
(a) ek
k=1 ∂xk
∂x1
∂x2
∂xn
Cuando f es diferenciable en todo punto de Ω podemos hacer el mismo cálculo simbólico
con el “escalar variable” f , que multiplicado por ∇ nos da
f
f
n∂f
(∂f
,∂ ,...,
=∑
∇f =
ek,
∂
k=1 ∂x
∂x1 ∂x2
∂xn
k
Si ahora F = (F1, F2, · · · , Fn) es un campo vectorial definido en el abierto Ω y diferenciable
en el punto a ∈ Ω, cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del “vector” ∇ por
el vector F(a) = (F1(a), F2(a), . . . , Fn(a)) obtenemos:
F
F
∂F1
∇ . F(a) = ∂x1 (a) + ∂ 2 a) + . . . + ∂ n (a) = div F(a).
(
∂x2∂xn
Esto explicaque frecuentemente se denote por ∇ . F(a) a la divergencia del campo F en el
punto a. Cuando F es diferenciable en Ω, tenemos igualmente
F
F
∂F1
∇ . F = ∂x1 + ∂ 2 . . . + ∂ n = div F (en Ω)
+
∂x2∂xn
Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector” ∇ resulta útil. Destacamos como siempre los dos casos particulares que nos interesan:
En el caso n = 2 tenemos ∇ = ( ∂,∂∂x ∂y

= ∂i+
∂x

∂
∂y

Interpretación Geométrica De La Derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo,
data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de
las tangentes y que se describe a continuación.
Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig.
9.5.).fig. 9.5.
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.
La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas:
Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la
recta tangente a la curva en P.
Ahora, si las...