UNIDAD 9 Estabilidad de sistemas diná hellip
Páginas: 6 (1254 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2015
ESTABILIDAD DE
SISTEMAS DINÁMICOS
CONTROL DE PROCESOS
Elaborado por Juan Paulo García Sandoval
Estabilidad para sistemas dinámicos
Para un sistema
La
estabilidad
del
sistema
depende tanto de la forma que
tiene f(x,u) como de la entrada
aplicada al sistema. Cuando se
efectúa un control retroalimentado,
Entonces el sistema a
cerrado tiene la dinámica
lazo
La estabilidad de este sistemasolo depende de la forma que
tiene f(x).
La estabilidad se analiza
alrededor de cada punto de
equilibrio, x*, que cumple con
la ecuación f(x*) = 0.
Un punto de equilibrio es:
Estable si, para cada e > 0,
existe d = d(e),
Inestable si no es estable, y
Asintóticamente estable si es
estable y d se puede elegir tal
que
d
e
Ecuación característica
Como ya se estudio, en la mayoría de loscasos una función de
transferencia tiene la forma
donde Q(s) y P(s) son dos polinomios de s.
Además si se obtienen las raíces de los polinomios,
G(s)
La función de transferencia anterior también se puede escribir como
En esta función de transferencia se dice que K es una ganancia
estática, c1, c2, . . . , cm, son los ceros del sistema y p1, p2, . . . , pn, son
los polos. En este caso, la ecuacióncaracterística (o polinomio
característico) de la función de transferencia es
Estabilidad para sistemas lineales
Para una entrada determinada, la expansión en fracciones
parciales para y(s) es:
Su transformada inversa es:
Si la entrada es finita los términos que dependen de u(t) en
y(t) también son finitos, por lo tanto la estabilidad
dependerá de los valores de los polos.
Si
al menos un delos polos tiene parte real positiva o parte real
igual a cero con multiplicidad mayor o igual a un, el sistema es
inestable.
Si ningún polo tiene parte real positiva o parte real igual a cero con
multiplicidad mayor o igual a uno, entonces el sistema es estable,
Más aún, si todas las raíces tiene parte real negativa el sistema es
asintóticamente estable (el polinomio característico esHurwitz).
Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz
Para que un sistema sea
estable, todas las raíces de su
ecuación característica deben
ser números reales negativos o
números complejos con parte
real negativa.
Imaginario
Im[polos]
Estable
Inestable
Real
De forma equivalente:
Para que un sistema sea
estable, todas las raíces de su
ecuación característica deben
caer en la mitad izquierda del Planoizquierdo
plano de complejo s, que
también se conoce como plano
izquierdo.
(0,0)
Re[polos]
Plano derecho
Arreglo de Routh
El polinomio en s se escribe de la
siguiente forma:
ansn + an-1sn-1 + · · · + a1s + a0 = 0
donde los coeficientes son cantidades
reales. Se supone que a0 0; es decir,
cualquier raíz nula ha sido eliminada.
Si cualquiera de los coeficientes son
nulos ónegativos en presencia de un
coeficiente positivo al menos, hay una
raíz ó raíces imaginarias, o que tienen
partes reales positivas. Por lo tanto,
en tal caso, el sistema no es estable.
Que los coeficientes sean positivos, no
es suficiente para la estabilidad.
donde los coeficientes son
Si todos los coeficientes son positivos,
se colocan en filas y columnas de
acuerdo al siguiente esquema:
Si uncoeficiente de la primera columna es
igual a cero, entonces existen raíces
imaginarias. Para seguir el procedimiento, se
sustituye el cero por un número e pequeño.
El criterio de estabilidad de Routh
establece que la cantidad de raíces de la
ecuación característica con partes reales
positivas es igual a la cantidad de cambios
de signo en la primera columna.
Ejemplo arreglo de Routh:
Determinación deestabilidad (1/2)
Considere un sistema con ecuación
característica
El arreglo de Routh es
Sistema estable
Ejemplo arreglo de Routh:
Determinación de estabilidad (2/2)
Ecuación característica
Ecuación característica
El arreglo de Routh es
El arreglo de Routh es
Sistema inestable
(2 raíces con parte real positiva)
Sistema estable
(raíces imaginarias conjugadas)...
SISTEMAS DINÁMICOS
CONTROL DE PROCESOS
Elaborado por Juan Paulo García Sandoval
Estabilidad para sistemas dinámicos
Para un sistema
La
estabilidad
del
sistema
depende tanto de la forma que
tiene f(x,u) como de la entrada
aplicada al sistema. Cuando se
efectúa un control retroalimentado,
Entonces el sistema a
cerrado tiene la dinámica
lazo
La estabilidad de este sistemasolo depende de la forma que
tiene f(x).
La estabilidad se analiza
alrededor de cada punto de
equilibrio, x*, que cumple con
la ecuación f(x*) = 0.
Un punto de equilibrio es:
Estable si, para cada e > 0,
existe d = d(e),
Inestable si no es estable, y
Asintóticamente estable si es
estable y d se puede elegir tal
que
d
e
Ecuación característica
Como ya se estudio, en la mayoría de loscasos una función de
transferencia tiene la forma
donde Q(s) y P(s) son dos polinomios de s.
Además si se obtienen las raíces de los polinomios,
G(s)
La función de transferencia anterior también se puede escribir como
En esta función de transferencia se dice que K es una ganancia
estática, c1, c2, . . . , cm, son los ceros del sistema y p1, p2, . . . , pn, son
los polos. En este caso, la ecuacióncaracterística (o polinomio
característico) de la función de transferencia es
Estabilidad para sistemas lineales
Para una entrada determinada, la expansión en fracciones
parciales para y(s) es:
Su transformada inversa es:
Si la entrada es finita los términos que dependen de u(t) en
y(t) también son finitos, por lo tanto la estabilidad
dependerá de los valores de los polos.
Si
al menos un delos polos tiene parte real positiva o parte real
igual a cero con multiplicidad mayor o igual a un, el sistema es
inestable.
Si ningún polo tiene parte real positiva o parte real igual a cero con
multiplicidad mayor o igual a uno, entonces el sistema es estable,
Más aún, si todas las raíces tiene parte real negativa el sistema es
asintóticamente estable (el polinomio característico esHurwitz).
Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz
Para que un sistema sea
estable, todas las raíces de su
ecuación característica deben
ser números reales negativos o
números complejos con parte
real negativa.
Imaginario
Im[polos]
Estable
Inestable
Real
De forma equivalente:
Para que un sistema sea
estable, todas las raíces de su
ecuación característica deben
caer en la mitad izquierda del Planoizquierdo
plano de complejo s, que
también se conoce como plano
izquierdo.
(0,0)
Re[polos]
Plano derecho
Arreglo de Routh
El polinomio en s se escribe de la
siguiente forma:
ansn + an-1sn-1 + · · · + a1s + a0 = 0
donde los coeficientes son cantidades
reales. Se supone que a0 0; es decir,
cualquier raíz nula ha sido eliminada.
Si cualquiera de los coeficientes son
nulos ónegativos en presencia de un
coeficiente positivo al menos, hay una
raíz ó raíces imaginarias, o que tienen
partes reales positivas. Por lo tanto,
en tal caso, el sistema no es estable.
Que los coeficientes sean positivos, no
es suficiente para la estabilidad.
donde los coeficientes son
Si todos los coeficientes son positivos,
se colocan en filas y columnas de
acuerdo al siguiente esquema:
Si uncoeficiente de la primera columna es
igual a cero, entonces existen raíces
imaginarias. Para seguir el procedimiento, se
sustituye el cero por un número e pequeño.
El criterio de estabilidad de Routh
establece que la cantidad de raíces de la
ecuación característica con partes reales
positivas es igual a la cantidad de cambios
de signo en la primera columna.
Ejemplo arreglo de Routh:
Determinación deestabilidad (1/2)
Considere un sistema con ecuación
característica
El arreglo de Routh es
Sistema estable
Ejemplo arreglo de Routh:
Determinación de estabilidad (2/2)
Ecuación característica
Ecuación característica
El arreglo de Routh es
El arreglo de Routh es
Sistema inestable
(2 raíces con parte real positiva)
Sistema estable
(raíces imaginarias conjugadas)...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.